Matemáticas finitas resumen del tema: funciones y modelos lineales

Herramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel | Utilidad regresión lineal

Tópicos: Funciones y dominios | Intervalos | Gráfica de una función | Modelos matemáticos | Modelos costo, ingreso y utilidad | Modelos demanda y oferta | Funciones lineales | Rectas | Gráfica de una función lineal | Modelos lineales | Interpretación de la pendiente | Regresión lineal


Funciones y dominios

Una función real f de una variable es una regla que asigna a cada número real x en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f, un número real único f(x).

La variable x se llama la variable independiente. Si y = f(x) llamamos a y la variable dependiente.

Una función puede ser especificado:

  • numéricamente: por medio de una tabla
  • algebraicamente: por medio de una formula
  • gráficamente: por medio de una gráfica.

Nota acerca de los dominios
El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f, supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural.

Pulse aquí para ir a una página que se deja evaluar y dibujar a las curvas de funciones.
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Ejemplos

Función especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla:

x0123
f(x) 3.01 -1.03 2.22 0.01

Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente.

Función especificado algebraicamente: Sea f la función especificada por f(x) = 3x2 - 4x + 1. Entonces

    f(2) = 3(2)2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5,
    f(-1) = 3(-1)2 - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8.
Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales.

Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica.

Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0, y f(3) = 5.

Intervalos

El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a ≤ x ≤ b.

El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b.

El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b.

Tenemos tembién intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b].

Ejemplos

IntervaloDibujo Descripción
[-1, 6)-1 ≤ x < 6
(2, 4)2 < x < 4
(-∞, 0]-∞ < x ≤ 0
Gráfica de una función

La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

Prueba de la recta vertical
Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

Ejemplo

Para obtener la gráfica de

f(x) = 3x2 - 4x + 1     Forma de función
con dominio restringido a [0, + ∞), sustituimos f(x) por y, y obtenemos la ecuación
y = 3x2 - 4x + 1.     Forma de ecuación
Entonces obtenemos la gráfica por trazando puntos, donde restringimos a x al estar en [0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo:

No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0.

Modelos matemáticos

Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.

Ejemplos 1 y 2 de enfrente son modelos analíticos, obtenidos por analizar la situación que está siendo modelada, mientras que Ejemplo 3 es un modelo ajuste de curva, obtenido por hallar una formula matemática que aproxima los datos observados.

Ejemplos
Situación Modelo
1. Hay presentemente 50 películas en tu disco duro, y este número está creciendo por 2 películas por semana. Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo.
N(t) = 50 + 2t
t = tiempo en semanas, N = número de películas
4. Invierto $1000 a una tasa de interés del 5% compuesto trimestralmente. Hallar el valor de la inversión después de t años.
A(t) = 1000(1 + 0.0125)^{4t}
Por la formula para interés compuesto (vea Parte B)
3. Números de socios Facebook
n(t) = 4t if 0 ≤ t ≤ 3       millones de miembros
50t-138     if 3 < t ≤ 5

t = tiempo en años desde el principio de 2004, n = número de socios en millones
Modelos costo, ingreso y utilidad

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

    Costo = Costo variable + Costo fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma
    C(x) = mx + b
se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Una función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.

Una función utilidad P especifica la utilidad (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

P(x) = R(x) - C(x).

Equilibrio se ocurre cuando

P(x) = 0

o, equivalentemente, cuando

R(x) = C(x).
Ejemplo

Si el costo a fabricar x refrigeradoras es

C(x) = 2x^2 + 150x + 6000 dolares,
entonces el costo variable es 2x^2 + 150x y el costo fijo es $6000.

Si se vende las refrigeradoras para $500 cada una, entonces el ingreso es

I(x) = 500x dolares,
y la función utilidad es
    U(x)=I(x) - C(x)
    =500x - (2x^2 + 150x + 6000)
    =-2x^2 + 350x - 6000
Equilibrio ocurre cuando P(x) = -2x^2 + 350x - 6000 = 0. Despejar a x por la formula cuadrática se da dos soluciones: x ≈ 19.26 y 155.74. Cuando x está entre estos dos valores, U(x) es positiva, que significa una utilidad. Por lo tanto, se debe fabricar y vender al menos 20 refrigeradoras (pero no más que 155) para realizar una utilidad.

Vaya al tutorial para más ejemplos.

Modelos demanda y oferta

Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta q (el número de articulos un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.

La demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.

Example

Si la demanda para las Botas Wellington de Ludington es q = -4.5p + 4000 pares vendidos por semana y la oferta es q = 50p - 1995 pares por semana (vea la gráfica más abajo), entonces se obtiene el precio de equilibrio cuando la demanda = la oferta:

    -4.5p+4000 = 50p-1995
    54.5p = 5995
que se da p = 5995/54.5 = $110. Sigue que el precio equilibrio es $110 y la demanda de equilibrio es q = −4.5(110) + 4000 = 3505 pares por semana. Lo que ocurre a precios distintos del precio de equilibrio se puede ver en la figura siguiente:




  • Cuando el precio es debajo del precio de equilibrio, es mayor la demanda que la oferta, y se resulta una escasez.
  • Cuando el precio es igual al precio de equilibrio, no hay escasez ni excedente, y decimos que el mercado es liquido o está despejado.
  • Cuando el precio es arriba del precio de equilibrio, es mayor la oferta que la demanda, y se resulta una excedente.
Funciones lineales

Una función lineal es una función de la forma

    f(x) = mx + b     Notación de función
    y = mx + b     Notación de ecuación

donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).

Papel de m: Si y = mx + b, entonces:
 (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.
 (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y.
 (c) Despejando a m, se obtiene

    m=
    Δy

    Δx
    		 =
    Cambio en y

    Cambio en x

Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función)

Ejemplos

La función

f(x) = 5x - 1
es una función lineal donde m = 5 y b = -1.

Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para y como funciones lineales de x.

    3x - y + 4 = 0   y = 3x + 4
    4y = 0y = 0
    3x + 4y = 5y = -(3/4)x + 5/4
Rectas

La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es se expresa por la formula

    m=
    y2 - y1

    x2 - x1
    		 =
    Δy

    Δx

La gráfica de la función lineal

f(x) = mx + b   Forma de función
o    
y = mx + b   Forma de ecuación

es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.

Ejemplos

El pendiente de la recta que pasa por (2, -3) y (1, 2) se expresa por

    m=
    y2 - y1

    x2 - x1
    =
    2 + 3

    1 - 2
    =-5.

Para ver como dibujar la gráfica de una función lineal, vea el siguiente tópico.

Dibujando la gráfica de una función lineal

Hay dos métodos buenos para dibujar la gráfica de una función lineal.

(a) Escriba la función en la forma y = mx+b, y después dibuje la recta con intersección en y igual a b y pendiente igual a m.

(b) Calcule las intersecciones en x y y, y después dibuje la recta que pasa por aquellos dos puntos. Para calcular la intersección en x de una recta, establezca y = 0 en su ecuación y despeje a x. Para calcular la intersección en y, establezca x = 0, y despeje a y. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el origen. En este caso, tendrá que trazar un punto adicional o usar el primero método.

Ejemplos

Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación 2x - 3y = -6.

(a) Despejando a y, obtenemos y = 2x/3 + 2. Entonces, el pendiente es 2/3 y la intersección en y es 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica.

Paso 1
Empiece con la intersección en y.		Paso 2
Dibuje una recta con la pendiente que se da.
Intersección-y =2
 Pendiente = 2/3

(b) Para obtener la intersección en x, establezca y = 0. La ecuación se convierte a 2x - 3(0) = -6 y obtenemos x = -3. Esta es la intersección en x. Para obtener la intersección en y, establezca x = 0, y obtenemos 2(0) - 3y = -6, entonces y = 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica.

Paso 1
Empiece con las intersecciones en x y en y.
Intersección-x = -3
Intersección-y = 2
Paso 2
Dibuje la recta que pasa por las dos intersecciones.
Ajustando una ecuación lineal a datos: Como hacer un modelo lineal

Formula punto-pendiente:

Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es

y = mx + b    
donde
b = y1 - mx1

Cuando aplicar la formula punto-pendiente

  • Aplique la formula punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta siempre que tiene información acerca un punto y la pendiente de la recta. La formula no se aplica si la pendiente es indefinida.
  • Si ya sabe la pendiente m y la intersección b en y, entonces puede sencillamente escribir la función lineal como
        y = mx + b.
    Esta formula se llama la formula pendiente-intersección.

Rectas verticales y horizontales

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (x1, y1) es

y = y1.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (x1, y1) es

x = x1.
 Ejemplos

Una ecuación de la recta que pasa por (1, 2) con pendiente -5 es
y = -5x + b,
donde
b = y1 - mx1 = 2 - (-5)(1) = 7
entonces
y = -5x + 7.

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (3, -4) es

    y = -4.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (3, -4) es

    x = 3.
Interpretación de la pendiente en aplicaciones

La pendiente de la recta y = mx + b es la razón de cambio de y para cada cambio de x en una unidad. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x

Si y es desplazamiento y x es tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo).

Si y es costo y x es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo).

Ejemplo

El número de páginas web en este sitio se puede expresar por la ecuación

n = 1.2t + 200,
donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio, 1997. La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una tasa de 1.2 páginas por semana.
Regresión lineal

Valores observados y pronosticados

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos (x1, y1), ..., (xn, yn). Las n cantidades y1, y2, ..., yn se llaman los valores observados y. Si se modela estos datos con una ecuación lineal


    y
    		=mx + b      

    y
    		   representa y "estimada" o "pronosticada".
entonces los valores de y que se obtiene por sustituir x en la ecuación por los valores dados de x se llaman los valores y pronosticados:

    y1
    		= mx1 + b       Sustituya x por x1

    y2
    		= mx2 + b Sustituya x por x2
        . . .    

    yn
    		= mxn + b Sustituya x por xn

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Si modelamos un conjunto de datos (x1, y1), ... , (xn, yn) con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los n cantidades (Valor actual - valor pronosticado):

         
    (y1 - y1),      		      
    (y2 - y2),      		 . . .   ,    
    (yn - yn)

El error suma de cuadrados (SSE) es la suma de cuadrados de los residuos:

    SSE =          
    (y1 - y1)2 +    		        
    (y2 - y2)2 +    		 . . .   +        
    (yn - yn)2 +

Recta de regresión

La recta de regreión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) relacionada con los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) es la recta que se minimiza el valor de SSE.

La recta de regresión se representa por

    y = mx + b

donde

    m=
    n(Σxy) - (Σx)(Σy)

    n(Σx2) - (Σx)2
    b=
    Σy - m(Σx)

    n
    n= número de puntos de datos

Pruebe la utilidad en-línea de regresión si quiere ver la recta de regresión de unos puntos de datos.

Ejemplos

Valores observados y pronosticados

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6), los valores observados de y son y1 = 2, y2 = 5, y y3 = 6. Si modelamos estos datos con la ecuación


    y
    		=2x + 1.5
entonces los valores pronosticados se obtiene por sustituir x en la ecuación de la recta por los valores dados de x:

    y1
    		=
    2x1 + 1.5 = 2(0) + 1.5 = 1.5

    y2
    		=
    2x2 + 1.5 =  

    y3
    		=
    2x3 + 1.5 =
    		 

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6) y el modelo lineal 2x + 1.5 que se muestra más arriba, los residuos son:

     
    y1 - y1    		=2 - 1.5 = 0.5
     
    y2 - y2    		=
     
     
    y2 - y2    		=
     

El error suma de cuadrados se obtiene por cuadrar y sumar las respuestas:

    SSE = (0.5)2 + (-0.5)2 + (-3.5)2 = 12.75
Ultima actualización: diciembre 2009
Derechos de autor © Stefan Waner
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