Tutorial: Limits: numerical and graphical viewpoints

This tutorial: Part A: Limits: Numerical viewpoint

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(This topic is also in Section 10.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older (non-adaptive, no practice) tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial (no adaptivo, sin práctica) más viejo!]#

Introducing limits

#[Consider the function][Considera la función]#

$f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$.

#[If you are algebraically minded, you will have noticed that you can factor the numerator in $f(x)$ and cancel the denominator, but for now, pretend that you never noticed this at all.][Si tienes mentalidad algebraica, habrás notado que puedes factorizar el numerador en $f(x)$ y cancelar el denominador, pero por ahora finge que nunca te diste cuenta de esto.]# (#[In any case, cenceling the denominator would change the function as then its natural domain would include $x = 2$. We could also have complicated the function a little to make this kind of cancellation impossible and we will do that in the nextg example.][En cualquier caso, cancelar el denominador cambiaría la función ya que entonces su dominio natural incluiría $x = 2$. También podríamos haber complicado un poco la función para hacer imposible este tipo de cancelación y lo haremos en el siguiente ejemplo.]#) s

Here is a table of values of $f(x)$ for values of $x$ close to $2$ on both sides (we have left the entry under 2 blank becaause $f(2)$ is not defined).

#[$x$ approaching 2
from the left][$x$ acercándose a 2
por la izquierda]# ⟶

#[$x$ approaching 2
⟵from the right ][$x$ acercándose a 2
⟵por la derecha ]#

#[In the little calculator below you can enter numbers or use the arrow buttons to see what happens if we get even closer to $2$ (the value of $f(x)$ will be shown as "NaN," not a number, if $x$ is too close to $2$):][En la pequeña calculadora a continuación ingresa números o usa los botones de flecha para ver qué sucede si nos acercamos aún más a $2$ (el valor de $f(x)$ se mostrará como "NaN", no como un número, si $x$ es demasiado cerca de $2$):]#

Notice from the table that we can arrange that $f(x)$ get as close to $12$ as we like by choosing a value of $x$ sufficiently close to $2$, regardless of which side of $2$ it is on. We write this as:

$\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = 12$ \gap[40] \t In words: The limit, as $x$ approaches 2, of $f(x)$ is equal to 12.

%%Q What if $f(2)$ were defined and equal to some number other than $12$?
%%A As we suggested above, whatever value the function might have at $2$ has no effect on the limit.*

*#[However, in the European (Dieudonné) school, it would matter, and the value of the fuction at $2$, if defined, would need to be $12$ as well.][Sin embargo, en la escuela europea (Dieudonné), sí importaría, y el valor de la función en $2$, si fuera definido, también tendría que ser $12$.]#

One-sided limits

%%Q #[What if we had gotten different answers when approaching 2 from the left and right?][¿Qué sucediera si hubiéramos obtenido deferentes respuestas cuando acercando a 2 por la izquierda y la derecha?]#
%%A #[This certainly can happen. Here, for example, is a table of values of the (ugly-looking) function $g(x) = |x-2|/(e^{x-2}-1)$.][Esto ciertamente puede suceder. Aquí, por ejemplo, hay una tabla de valores de la función (de aspecto feo) $g(x) = |x-2|/(e^{x-2}-1)$.]#

#[$x$ approaching 2
from the left][$x$ acercándose a 2
por la izquierda]# ⟶

#[$x$ approaching 2
⟵from the right ][$x$ acercándose a 2
⟵por la derecha ]#

Notice that the limit appears to be $-1$ as you approach $2$ from the left, but it appears to be $1$ if you approach $2$ from the right. We therefore write:

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} g(x) = -1 \qquad \qquad$ \t #[The limit, as $x$ approaches $2$ from the left, of $g(x)$ is equal to $-1$.][El límite, cuando $x$ tiende a $2$ por la izquierda, de $g(x)$ es igual a $-1$.]# \\ $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} g(x) = 1 \qquad \qquad$ \t The limit, as $x$ approaches 2 from the right, of $g(x)$ is equal to $1$.

%%Q What then is $\lim_{x \to 2} g(x)$ in this case?
%%A Because the left and right limits disagree, we say that $\lim_{x \to 2} g(x)$ does not exist.

Limits: some terms

#[Suppose that $a$ is a real number such that $f(x)$ is defined for values of $x$ arbitrarily close to, but different from $x = a$. Then we say that $f(x)$ approaches the number $L$ as $x$ approaches $a$, and write][Supongamos que $a$ es un número real tal que $f(x)$ está definida para valores de $x$ arbitrariamente cercanos a, pero diferentes de, $x = a$. Entonces decimos que $f(x)$ tiende al número $L$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribimos]#

$f(x) \to L$ #[as][a medida que]# $x \to a$.

%%or

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad\qquad \] \t #[The limit of $f(x)$, as $x$ approaches $a$, (exists and) equals $L$][El límite de $f(x)$, a medida que $x$ se acerca a $a$, (existe y) es igual a $L$]#

#[to mean that $f(x)$ gets arbitrarily close to the number $L$ for $x$ in the domain of $f$ sufficiently close to (but not equal to) $a$, regardless on which side.][para significar que $f(x)$ se acerca arbitrariamente al número $L$ para $x$ en el dominio de $f$ suficientemente cerca de (pero no igual a) $a$, independientemente de qué lado.]#

One-sided limits

#[If $f(x)$ is defined for $x$ arbitrarily close to and on the left of $x = a$, we say that][Si $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente cerca y a la izquierda de $x = a$, decimos que]#

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = P \qquad$ \t #[The limit of $f(x)$, as $x$ approaches $a$ from the left, (exists and) equals $P$][El límite de $f(x)$, a medida que $x$ se acerca a $a$ de la izquierda, (existe y) es igual a $P$]#

#[to mean that $f(x)$ gets arbitrarily close to the number $P$ for $x$ in the domain of $f$ sufficiently close to and on the left of $a$.][para significar que $f(x)$ se acerca arbitrariamente al número $P$ para $x$ en el dominio de $f$ suficientemente cerca de, y a la izquierda de $a$.]#

#[Similarly, if $f(x)$ is defined for $x$ arbitrarily close to and on the right of $x = a$, we say that][Si $f(x)$ se define para $x$ arbitrariamente cerca y a la derecha de $x = a$, decimos que]#

$\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = Q \qquad$ \t #[The limit of $f(x)$, as $x$ approaches $a$ from the right, (exists and) equals $Q$.][El límite de $f(x)$, a medida que $x$ se acerca a $a$ de la derecha, (existe y) es igual a $Q$]#

#[to mean that $f(x)$ gets arbitrarily close to the number $Q$ for $x$ in the domain of $f$ sufficiently close to and on the right of $a$.][para significar que $f(x)$ se acerca arbitrariamente al número $Q$ para $x$ en el dominio de $f$ suficientemente cerca de, y a la derecha de $a$.]#

#[If the left limit and the right limit both exist and are equal (to $L$, say) then $\text{lim}_{x \to a} f(x)$ also exists and equals $L$.][Si ambos límites izquierda y la derecha existen y son iguales (a $L$, por ejemplo) entonces $\text{lim}_{x \to a} f(x)$ también existe y es igual a $L$.]#

Infinite limits

It sometimes happens that $f(x)$, rather than approaching any finite number, becomes larger and larger without bound as $x \to a$; that is, if you name any number, no matter how large, $f(x)$ will be even larger than that if $x$ is sufficiently close to $a$. For example, consider the following table of values for the function $f(x) = \dfrac{1}{2 - x}$ near $x = 2$.

#[$x$ approaching 2
from the left][$x$ acercándose a 2
por la izquierda]# ⟶

#[$x$ approaching 2
⟵from the right ][$x$ acercándose a 2
⟵por la derecha ]#

As $x \to 2^-$ we see that $f(x)$ is becoming larger and larger positive without bound, and so we write

$\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty \qquad \qquad$ \t $f(x)$ #[diveges to][diverge a]# $+\infty$ #[as][cuando]# $x \to 2^-$.

#[As $x \to 2^+$ we see that $f(x)$ is becoming more and more negative without bound, and so we write][Cuando $x \to 2^-$ observamos que $f(x)$ se está volviendo cada vez más grande negativo sin límite, y así escribimos]#

$\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \qquad \qquad$ \t $f(x)$ #[diverges to][diverga a]# $-\infty$ #[as][cuando]# $x \to 2^+$.

#[As the left- and right-limits do not agree, we say that $\lim_{x \to 2} f(x)$ does not exist (as in the case of finite limits).][Ya que los límites izquierda y derecha no son de acuardos, digamos que $\lim_{x \to 2} f(x)$ no existe (como en el caso de límites finitos).]#

#[Now, let's mix things up a little:][Ahora, mezclemos un poco las cosas:]#

Limits at Infinity

#[In another useful kind of limit, we let $x$ approach either $+\infty$ or $-\infty$, by which we mean that we let $x$ become an arbitrarily large positive or negative number.][Hay un otro tipo de límite muy útil en que $x$ se acerca a $+\infty$ o $x$ se acerca a $-\infty$, que significa que $x$ se hace arbitrariamente grande positivo o negativo.]# To illustrate this concept, here is a table of approximate values of the function $f(x) = \dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{-2x+1}$ for larger and larger positive and negative values of $x$ (by "large" numbers we mean numbers with large absolute values, like $200{,}000$ and $-200{,}000$).

⟵ $x$ #[approaching][acercándose a]# $-\infty$

$x$ #[approaching][acercándose a]# $\infty$ ⟶

#[Notice that, this time, we read the tables in the opposite directions, going left toward $-\infty$ on the negative side, and going right to $\infty$ on the positive side][Observe que, esta vez, leemos las tablas en direcciones opuestas, yendo a la izquierda hacia $-\infty$ en el lado negativo y yendo a la derecha hacia $\infty$ en el lado positivo.]#

#[Here is a little calculator to show what happens for even larger positive and negative values of $x$. Use the arrow keys to make $x$ numerically larger positive or negative.][Aquí hay una pequeña calculadora que muestra qué sucede con valores positivos y negativos de x aún mayores. Usa las flechas para aumentar numéricamente el valor de x, ya sea positivo o negativo.]#

#[What these table of values suggest is that as $x \to -\infty$ (see the larger negative values on the left), the values of $f(x)$ approach $1.5$ while as $x$ becomes larger and larger positive (see the values shown on the right), the values approach $-1.5$. Therefore, we estimate][Lo que éstas tablas de valores sugieron es que a medida que $x \to -\infty$ (vea los valores negativos más grandes a la izquierda), los valores de $f(x)$ se aproximan a $1.5$, mientras que a medida que $x$ se vuelve más y más positivo (vea los valores que se muestran a la derecha), los valores se aproximan a $-1.5$. Por lo tanto, estimamos]#

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1.5\ \ \ \ $ \t #[The limit of $f(x)$, as $x$ approaches $-\infty$, is $1.5$.][El valor límite de $f(x)$, cuando $x$ se acerca a $-\infty$, es $1.5$.]# \\ $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -1.5\ \ \ \ $ \t #[The limit of $f(x)$, as $x$ approaches $\infty$, is $-1.5$.][El valor límite de $f(x)$, cuando $x$ se acerca a $\infty$, es $-1.5$.]#

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