Tutorial: Funciones desde los puntos de vista numérico, algebráico, y gráfico

(Se puede encontrar este tema en la Sección 1.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

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Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Gráficador Excel

Fundamentos

En pocas palabras, una función en matemáticas es un procedimiento que opera con números (o posiblemente otros objetos matemáticos) para devolver otros números (o posiblemente objetos matemáticos). Por ejemplo, el procedimiento podría doblar el número que se le dio, o podría agregar 4 o incluso no hacer nada en absoluto. Cuando una función opera solo en números en oposición a otros objetos matemáticos y devuelve solo números, a ella se llama una función real de variable real.

Funciones y dominios
Una función real $f$ de una variable real es una regla que asigna a cada número real $x$ en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de $f,$ un número real úniquo $f(x),$ que se lee '$f$ de $x.$'

La cantidad $x$ se llama el argumento de $f$ y a $f(x)$ se llama el valor de $f$ en $x.$

Una función se puede especificar

numéricamente

graphically

algebraically

y también en otras maneras.

Nota sobre los dominios
El dominio de una función no es siempre explícitamente especificada; cuando no se especifica algún dominio para una función $f,$ supondremos que el dominio es el conjunto más grande de los números $x$ para los cuales tiene sentido $f(x).$ Esta 'dominio más grande posible' se le llama a veces el dominio natural.

Ejemplos
Una función espesificada numéricamente

Gráfica de una función espesificada gráficamente

Una función espesificada gráficamente

Una función espesificada algebraicamente

Graficando funciones

Obtuvimos la gráfica de la función especificada numéricamente arriba trazando puntos con los valores de $f(x)$ usados como coordinades-$y$. Así, los puntos que trazamos tenían la forma $(x, y) = (x, f(x))$. Independientemente de cómo se especifique una función, obtenemos su gráfica de la misma manera:

La gráfica de una función
La gráfica de una función consiste en todos los puntos posibles de la forma $(x, f(x))$, para $x$ en el dominio de $f$. En la práctica no podemos trazar todos estos puntos, ya que hay infinitos de aquellos, así que escogemos algunos para trazar y luego "conectar los puntos" y esperamos lo mejor.

Ejemplos
%%Let $f(x) = x^2$. Para trazar la gráfica de $f$, primero escoge algunos values convenientes de $x$ en el sominio y calcular las correspondientes valores $f(x)$ para las coordenadas-$y$:

Las siguientes figuras muestran los puntos trazados y luego la curva que sugiere, que es la gráfica de $f$:

Esta particular curva se llama una parabola, y su punto más bajo, en el origen, se llama su vértice.

Un compendio de funciones

Restringir el dominio de una función

Como vimos anteriormente (ver "Funciones y dominios" en la parte superior de la página), el dominio de una función, si no se especifica, se considera su dominio natural, pero en muchas aplicaciones es posible que queramos restringirlo a un rango de valores correspondientes a una situación real. Por ejemplo, si $C(x) = x^2+5$ representa el costo de elaborar $x$ kilogramos de esencia de ectoplasma en un día, la función no tiene significado real si $x$ es negativo, por lo que realmente deberíamos restringir el dominio a $[0,\infty)$, o, si la fórmula no se aplica en el caso en que no se elabora ninguna esencia de ectoplasma, a $(0,\infty)$. Además, si no es posible elaborar más de 20 kilogramos en un día, entonces debemos restringir aún más el dominio a $[0, 20]$ o $(0,20]$.

Representamos estas posibilidades gráficamente de la siguiente manera:

Un punto sólido en un punto final de una gráfica indica que su valor $x$ está en el dominio, por lo que el punto es en realidad un punto de la gráfica. Un punto abierto indica que su valor $x$ no está en el dominio, por lo que el punto en realidad se elimina de la gráfica.

#[Domain][Dominio]#: $[0,\infty)$
#[$0$ in the domain][$0$ incido en el dominio]#

#[Domain][Dominio]#: $(0,\infty)$
#[$0$ not in the domain][$0$ no en el dominio]#

#[Domain][Dominio]#: $[0,20]$
#[$0$ in the domain][$0$ incido en el dominio]#>

#[Domain][Dominio]#: $(0,20]$
#[$0$ not in the domain][$0$ no incluido en el dominio]#

Funciones definidas a trazos

A veces se necesita usar más que una sola fórmula para especificar una función algebraicamente, como en el siguiente ejemplo, parecido al Ejemplo 2 en el libro de texto::

El número, en millones, de socios de Facebook de 2004 a 2009 se puede aproximar por la siguiente función ($t=0$ representa el inicio de 2004):^†
^†#[Source for data][Fuente de datos]#: http://www.facebook.com

$\displaystyle n(t) = \begin{cases} \color{green}{4t} & \text{if } 0 \leq t \leq 3 \\\color{coral}{50t-138}& \text{if } 3 \lt t \leq 5 \end{cases}$

Usamos la primera fórmula: $\color{green}{4t}$ (va la porción verde de las gráfica) para calcular $n(t)$ si $0 \leq t \leq 3$, o, equivalentemente, $t$ es en$[0, 3]$.
Usamos la segunda fórmula: $\color{coral}{50t-138}$ (va la porción naranja de las gráfica) para calcular $n(t)$ si $3 \lt t \leq 5$, o, equivalentemente, $t$ is in $(3, 5]$.

Así, for ejemplo,,

$n(2.5) = \color{green}{4(2.5)} = 10 \qquad$	Usamos la primera fórmula porque $0 \leq 2.5 \leq 3$.
	La membresía a mediados del 2006 ($t=2.5$) fue de 10 millones.
$n(3) = \color{green}{4(3)} = 12 \qquad$	Usamos la primera fórmula porque $0 \leq 3 \leq 3$.
	La membresía a comienzos del 2007 ($t=3$) fue de 12 millones.
$n(3.5) = \color{coral}{50(3.5)-138} = 37 \qquad$	Usamos la segunda fórmula porque $03 \lt 3.5 \leq 5$.
	La membresía a mediados del 2007 ($t=3.5$) fue de 37 millones.

Funciones y ecuaciones

Para finalizar este tutorial, una breve nota sobre diferentes formas de escribir una función definida algebraicamente. Normalmente, para especificar una función algebráicamente, necesitamos escribir una ecuación que la define, como, por ejemplo,

$f(x) = 3x - 2.$ Si reemplezamos la "$f(x)$" por "$y$", obtenemos unanecuación sin mención explicita de ninguna functión:

#[An equation in two variables:][Una ecuación en dos variabvles]# $x$ %%and $y$

Técnicamente, $ y = 3x - 2 $ es una ecuación y no una función. Sin embargo, una ecuación de este tipo, $ y = {}$ expresión en $x$, se puede considerar como "especificando $ y $ como función de $ x $" de la siguiente manera: dado cualquier valor $ x, $ obtenemos el valor de la función en $ x $ calculando el valor correspondiente de $ y $ en la ecuación. Entonces, el valor de la función en $ x = 1 $ es solo

$y = 3(1) - 2 = 1,$ #[which is the same as $f(1)$ for our original function][que es lo mismo que $f(1)$ para nuestra función original]# $f(x) = 3x - 2.$

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 1.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.