Funciones y modelos logísticos y logarítmicos

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Este tutorial: Parte B: Funciones y modelos logarítmicos

(Se puede encontrar este tema en la Sección 2.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Gráficador Excel

Nota Para trabajar con funciones logarítmicas, necesitamos entender qué son los logaritmos y también conocer las identidades de los logaritmos. Si no se siente cómodo con estos requisitos, visite el %%logstut. Para obtener una revisión de los logaritmos naturales, visita el %%ExpFuncsB. El siguiente es un calentamiento sobre los identidades logarítmicas, tomado del %%logstut:

Funciones logarítmas: Básicos

Funcion logarítmica

Las funciones logarítmicas tienen la siguiente forma:

$f(x) = \log_b x + C$ \t \gap[10] $C$ %%and $b$ #[are arbitrary constants with $b$ positive and not equal to 1.][son constantes arbitrarias con $b$ positivo y no igual a 1.]# \\ #[Technology formula][Fórmula tecnológica]#: \t \gap[10] log(x)/log(b)+C %%or ln(x)/ln(b)+C

#[Alternative forms][Formas alternativas]#

Podemos usar las identidades de los logaritmos del %%logstut para escribir $\log_b x$ en la forma

\t $\dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{1}{\log b}\log x = A\log x$ \t $A = \dfrac{1}{\log b} ={}$ #[constant][constante]# \\ #[or][o]# \t $\dfrac{\ln x}{\ln b} = \dfrac{1}{\ln b}\ln x = A\ln x$ \t $A = \dfrac{1}{\ln b} ={}$ #[constant][constante]#

dándonos dos formas alternativas de una función logarítmica general

$f(x) = A\log x + C$ \\ $f(x) = A\ln x + C$ \t $\ln x = \log_e x$ es el logaritmo natural. Consulta
%%ExpFuncsB
para más información sobre el número $e$ y el logaritmo natural.

donde $A$ y $C$ son constantes arbitrarias con $A \ne 0$.

Sus gráficas tienen la forma que se muestra a continuación. Cuando $b \gt 1$ $f(x)$ aumenta al aumentar $x$, y cuando $b \lt 1$ disminuye al aumentar $x$:

$\bold{f(x) = \log_b x}$ \t \\

$f(x) = \log_b x$ #[Increasing when ][Aumentando cuando ]# $b \gt 1$

$f(x) = \log_b x$ #[Decreasing when ][Disminuyendo cuando ]# $b \lt 1$

Agregar una constante $C$ tiene el efecto de desplazar las gráficos verticalmente $C$ unidades:

$\bold{f(x) = \log_b x + C}$ \t \\

$f(x) = \log_b x + C$ #[Increasing when ][Aumentando cuando ]# $b \gt 1$

$f(x) = \log_b x + C$ #[Decreasing when ][Disminuyendo cuando ]# $b \lt 1$

#[Some features seen in the above graphs][Algunas características que se ve en las gráficas anteriores]#

Ya que $\log_b 1 = 0$, la gráfica de $\log_b x$ cruza el eje-$x$ en $x = 1.$
Si $b \gt 1$, los valores $x = b, b^2, b^3, ...$ forman una secuencia creciente y los valores correspondiented de $\log_b x$ son
$\log_b(b) = 1$ \\ $\log_b(b^2) = 2\log_b(b) = 2$ \\ $\log_b(b^3) = 3\log_b(b) = 3$ \\ ... \\ $\log_b(b^n) = n\log_b(b) = n.$
Si $b \lt 1$, los valores $x = b^{-1}, b^{-2}, b^{-3}, ...$ forman una secuencia creciente y los valores correspondiented de $\log_b x$ son
$\log_b(b^{-1}) = -\log_b(b) = -1$ \\ $\log_b(b^{-2}) = -2\log_b(b) = -2$ \\ $\log_b(b^{-3}) = -3\log_b(b) = -3$ \\ ... \\ $\log_b(b^{-n}) = -n\log_b(b) = -n.$

%%Examples

1. #[The Logarithmic function][La función logarítmica]# $f(x) = \log_2 x - 1$ #[has][tiene]# $b = 2$ %%and $C = -1.$ #[as $b \gt 1$ the values of $f$ increase with increasing $x.$][ya que $b \gt 1$ los valores de $f$ aumentan al aumentar $x.$]# #[Here is a table calculating various values of $f$ and the resulting graph:][Aquí hay una tabla que calcula varios valores de $f$ y la gráfica resultante:]#

2. #[One for you][Uno para ti]#

#[Application: Earthquakes][Aplicación: Temblores]#

#[The magnitude of a large earthquake can be measured by the formula][La magnitud de un gran terremoto se puede medir con la fórmula]#

$\displaystyle M = \frac{2}{3}\log S - 10.7,$ \gap[10] \t Escala sismológica de magnitud de momento

donde $S$ es el momento sísmico, que mide la intensidad del terremoto en función del deslizamiento y tamaño de la falla y la rigidez del material de la falla.^†

† $S$ se mide en ergios, que son unidades que también se utilizan para medir la energía. (Un ergio es la cantidad de energía que se necesita para acelerar una masa estacionaria de 2 gramos a una velocidad de 1 cm/seg.)

(a) Calcula el momento sísmico en un terremoto de magnitud 6.0.
(b) El terremoto de Lice, Turquía, el 28 de julio de 1976, tuvo una magnitud de 6.0, y el terremoto de Kerman, Irán el 26 de diciembre de 2003 tiene una magnitud de 6,6.. Compare los dos: ¿Qué porcentaje del momento sísmico del terremoto de Turquía fue el momento sísmico del terremoto de Irán?

#[Solution][Solutión]#

(a)

$M = \dfrac{2}{3}\log S - 10.7$ \\ $6.0 = \dfrac{2}{3}\log S - 10.7$

Necesitamos despejar $M_0$ en esta ecuación:

$\dfrac{2}{3}\log S = 6.0 + 10.7 = 16.7$ \gap[20] \t Mueve el 10.7 al otro lado. \\ $\log S = \dfrac{3}{2}(16.7) = 25.05$ \gap[20] \t Multiplica por $3/2$. \\ $S = 10^{25.05} \approx 1.12 \times 10^{25}$ #[ergs][ergios]#. \gap[20] \t Forma exponente

(b) #[Take $S_1$ to be the seismic moment in the Iran quake and $S_2$ to be the moment in the Turkey quake. The calculation we just did can be written as][Toma $S_1$ como el momento sísmico del terremoto de Irán y $S_2$ como el momento del terremoto de Turquía. El cálculo que acabamos de hacer se puede escribir como]#

$M_1 = 10^{(3/2)(\color{indianred}{6.0} + 10.75)}$ \t #[Turkey][Turquía]# \\ $M_2 = 10^{(3/2)(\color{indianred}{6.6} + 10.75)}$ \t #[Iran][Irán]# \\ $\dfrac{S_1}{S_2} = 10^{(3/2)(\color{indianred}{6.0} + 10.75) -(3/2)(\color{indianred}{6.6} + 10.75)} \qquad$ \t #[Laws of exponents][Leyes de los exponentes]# \\ \gap[20] ${}= 10^{(3/2)(\color{indianred}{6.0 - 6.6})}$ \t #[Simplify][Simplifica]# \\ \gap[20] ${}= 10^{(3/2)(-0.6)} = 10^{-0.9} \approx 0.13$

#[Thus, the seismic moment in the Turkey quake was about 13% of that in the Iran quake.][Por lo tanto, el momento sísmico en el terremoto de Turquía fue aproximadamente el 13% del del terremoto de Irán.]#

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la Sección 2.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.