Tutorial: Systems of two linear equations in two unknowns

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This tutorial: Part C: Applications

(This topic is also in Section 3.1 in Finite Mathematics or Section 4.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus)

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Resources

Function evaluator and grapher

Pivot and Gauss-Jordan tool

Excel pivot and Gauss-Jordan tool

Chapter true/false quiz

Setting up systems of linear equations from given information

In all applications of linear equations, we follow the same general strategy:

#[General strategy for solving applications of systems of linear equations][Estrategia general para resolver aplicaciones de las sistemas de ecuaciones lineales]#

#[Identify and label the %%unknowns.][Identifica y etiqueta las %%unknowns.]#
#[In other words, what are we asked to find? In answering this question, you should note down something like the following:][En otras palabras, ¿qué se nos pide determinar? Para responder a esta pregunta, debes anotar algo como lo siguiente:]#
%%Let $x$ #[be the number of video games.][el número de juegos videos.]# \\ %%Let $y$ #[be the number of apps.][el número de apps.]#
(#[There will only be two %%unknowns in this tutorial.][Solo habrá dos %%unknowns en este tutorial.]#)
%%Note #[Both %%unknowns should be numbers, so it is important to say "Let $x$ be the number of video games;" we should not say something like "$x$ = video games," as we will see later.][Ambas %%unknowns deben ser números, así que es importante decir "Sea $x$ el número de los juegos videos, y no debemos decir algo como "$x$ = juegos videos", como veremos más adelante.]#
#[Use the information given to obtain equations in the %%unknowns.][Usa la información dada para obtener ecuaciones en las %%unknowns.]#
#[How to do this depends on the way the problem is worded. We will look at some examples below to develop some strategies.][Cómo lo haces depende de la forma en que es presentado el problema. Consideremos varios ejemplos para desarrollar algunas estrategias.]#
#[Solve the system to obtain the values for the %%unknowns.][Soluciona el sistema para obtener los valores de las %%unknowns.]#
#[For solving linear systems with two unknowns by hand, go back to the %%partBtut. To use technology to obtain the solution, try the %%gjtool or download and try the %%exlgjtool (see below for how to use these tools).][Para solucionar sistemas de ecuaciones con dos %unknowns, vuelve al %%partBtut. Para utilizar la tecnología para obtener la solución, prueba la %%gjtool o descarga y prueba la %%exlgjtool (vea a continuación cómo utilizar estas herramientas).]#

#[Step 2 above—using the information given to obtain equations in the %unknowns—is often the most difficult: Here we consider two kinds of real life situations that lead to systems of equations.][Paso 2 arriba—usar la información dada para obtener ecuaciones en las %unknowns—es frecuentemente el más dificil: Aquí consideramos dos tipos de situaciones reales que conducen a sistemas de ecuaciones.]#

#[Applications in which all the given information can be tabulated][Aplicaciones en las que toda la información dada puede ser tabulada]#
#[Applications in which some of the given information must be translated directly from words into equations][Aplicaciones en las que parte de la información dada se debe traducir directamente de las palabras en ecuaciones]#

Applications in which all the given information can be tabulated

Following is a generic example of this type.

#[Solution][Solución]#

#[Let's follow the above strategy:][Vamos a seguir la estrategia anterior:]#

#[Identify and label the %%unknowns.][Identifica y etiqueta las %%unknowns.]#
#[We are asked to find the number of items of Product A and Product B the company can produce:][Se nos pide encontrar el número de artículos del Producto A y del Producto B que la empresa puede producir:]#
%%Let $x$ #[be the number of items of Product A.][número de artículos del Producto A.]# \\ %%Let $y$ #[be the number of items of Product B.][el número de artículos del Producto B.]#
#[Use the information given to obtain equations in the %%unknowns.][Usa la información dada para obtener ecuaciones en las %%unknowns.]#
#[As suggested, we first tabulate this information. The most convenient way to do this is to have the products corresponding to the unknowns along the top, with a "Total" column on the right:][Como se sugirió, primero tabulamos esta información. La manera más conveniente de hacerlo es colocar los productos correspondientes a las incógnitas en la parte superior, con una columna de "Total" a la derecha:]#

#[Component 1: As we have $x$ items of Product A each requiring 2 units of Component 1 and $y$ items of Product B each requiring 4 units of Component 1, we are using a total of $2x + 4y$ units of this conponent, and this must equal tht total available:][Componente 1: Como tenemos $x$ artículos del Producto A que requieren 2 unidades del Componente 1 cada uno y $y$ artículos del Producto B que requieren 4 unidades del Componente 1 cada uno, estamos usando un total de $2x + 4y$ unidades de este componente, y esto debe ser igual al total disponible:]#
$2x + 4y = 24$.
#[Notice that the coefficients are just the entries in the first row of the table!][¡Observa que los coeficientes son solo las entradas en la primera fila de la tabla!]#
#[Component 2: By the same reasoning applied to Component 2, we can use the second row of the table for our second equation:][Componente 2: Por el mismo razonamiento aplicado al Componente 2, podemos utilizar la segunda fila de la tabla para nuestra segunda ecuación:]#
$5x + 3y = 25$.
To solve this system, use the %%gjtool:
#[Just enter the values as they appear in the above table and press "Reduce completely":][Simplemente ingrese los valores tal como aparecen en la tabla anterior y presione "Reducir completamente":]#
#[][]#
#[The result is shown at the bottom of the image. Notice that the new coefficients are][El resultado se muestra en la parte inferior de la imagen. Observa que los nuevos coeficientes son]#

#[Translating back to equations gives][Traduciendo de nuevo a ecuaciones obtenemos]#
$1x + 0y = 2$ \\ $0x + 1y = 5$
#[or simply][o simplemente]#
$x = 2$ \\ $y = 5$.
#[So, we have solved the system! (See the %%gjtut (next tutorial) for details on the magic used to accomplish this.)][¡Así que hemos resuelto el sistema! (Consulta el %%gjtut (próximo tutorial) para obtener más detalles sobre la magia utilizada para lograrlo).]#

The following example is similar to Example 6 of Section 3.1 in Finite Mathematics or Section 4.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus.

Applications in which words must be directly translated into equations

#[Sometimes, the information given cannot all be tabulated, and instead, we see statements that refer to the unknowns in other ways. For instance, if $x$ is the number of oranges and $y$ is the number of apples, then we might see something like "There are twice as many apples as oranges." Do deal with these, we follow the following advice given in %12:][A veces, puede sucedir que toda la información no puede ser tabulada en la manera anterior, y en cambio, vemos declaraciones que se refieren a las incógnitas de otras maneras. Por ejemplo, si $x$ es el número de naranjas e $y$ es el número de manzanas, entonces podamos ver algo como "Hay dos veces mas manzanas que naranjas." Para tratar con estos, seguimos el siguiente consejo dado en %12:]#

#[How to translate worded information directly into equations][Cómo traducir información directamente en ecuaciones]#

#[State in words what each unknown represents using the phrase "the number of..." as in
"Let x be the number of apples, and let y be the number of oranges."
Don't just say "x = apples, y = oranges."
][Declara en palabras lo que significa cada desconocido utilzando la frase "el número de..." como en
"Sea x el número de manzanas e y el número de naranjas."
No digas solo "x = manzanas, y = naranjas."
]#
#[Reword all the given information using the phrases "the number of..." as in
"The number of apples is twice the number of oranges."
][Reformula toda la información dada usando las frases "el número de..." como en
"El número de manzanas es dos veces el número de naranjas."
]#
#[Translate the reworded information directly into symbols using your statements in (1) of what the unknowns represent: as in
"x is twice y," or just "x = 2y."
][Reformula toda la información dada usando las frases "el número de..." como en
"x es dos veces y," o simplemente "x = 2y."
]#

#[We can now apply our skills to more kinds of applications:][Ahora podemos aplicar nuestras habilidades a más tipos de aplicaciones:]#

Now try some of the exercises in Section 3.1 in Finite Mathematics or Section 4.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus. or move ahead to the Part B of this tutorial by pressing "Next tutorial" on the sidebar.