Tutorial: Systems of two linear equations in two unknowns

This tutorial: Part A: Solving graphically

Go to Part B: Solving by elimination

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(This topic is also in Section 3.1 in Finite Mathematics or Section 4.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus)

Resources

Function evaluator and grapher

Excel grapher

Chapter true/false quiz

%%Q #[Just what is a "system of linear equations in two unknowns?"][Exactamente ¿qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?]#
%%A First, a linear equation in two unknowns $x$ and $y$ is an equation of the form

$ax + by = c$ %%where $a,\ b,$ %%and $c$ are numbers. Here are some examples:

$4x + 5y = 0$ \t $\qquad a = 4,\ b = 5,\ c = 0$ \\ $x - y = 11$ \t $\qquad a = 1,\ b = -1,\ c = 11$ \\ $4x = 3$ \t $\qquad a = 4,\ b = 0,\ c = 3$

Second, a system of two or more linear equations is just a collection of such beasts, for instance,

$4x + 5y = 40$ \t $\qquad$ A system of two linear equations in two unknowns \\ $x - y = 1$

In this tutorial we are interested in solutions to linear equations or systems of linear equations.

Solutions of a single linear equation

#[Solutions of a linear equation in two unknowns][Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas]#

#[A particular solution of the linear equation $ax + by = c$ is a specific pair of numbers $(x, y)$ that satisfy the equation. If $a$ and $b$ are not both zero, the linear equation $ax + by = c$ has infinitely many such solutions; these solutions are the points on the graph of the equation.][Una solución particular de la ecuación lineal $ax + by = c$ es un par específico de números $(x, y)$ que satisfacen la ecuación. Si $a$ y $b$ no son ambos cero, la ecuación lineal $ax + by = c$ tiene infinitas soluciones de este tipo; Estas soluciones son los puntos en la gráfica de la ecuación.]#

#[The general solution parameterized by $\bold{x}$ of the linear equation $ax + by = c$ has the form $(x, f(x))$, where we solve the given equation for $y$ as a function of $f(x)$ of $x$ if possible (that is, if $b \neq 0$, so that $y$ appears in the equation; otherwise, the general solution cannot be parameterized by $x$). Substituting any number for $x$ then results in a particular solution.][La solución general parametrizada por $\bold{x}$ de la ecuación lineal $ax + by = c$ tiene la forma $(x,f(x))$, donde despejamos a $y$ en la dada ecuación como una función $f(x)$ de $x$ si es posible (es decir, si $b \neq 0$, para que $y$ aparezca en la ecuación; de lo contrario, la solución general no se puede parametrizar por $x$). Sustituir cualquier número por $x$ luego da como resultado una solución particular.]#

#[Similarly, the general solution parameterized by $\bold{y}$ has the form $(g(y), y)$, where we solve the given equation for $x = g(y)$ if possible. Substituting any number for $y$ then results in a particular solution.][De manera similar, la solución general parametrizada por $\bold {y}$ tiene la forma $(g(y), y)$, donde despejamos a $x$ en la dada ecuación como una función $g(y)$ de $y$ si es posible. Sustituir cualquier número por $y$ luego da como resultado una solución particular.]#

#[Example][Ejemplo]#

#[The linear equation $3x + 2y = 4$ has a solution $x = 2,\ y = -1,$ or $(x, y) = (2, -1),$ because substituting $x = 2$ and $y = -1$ in the equation makes it a true statement:][La ecuación lineal $3x + 2y = 4$ tiene $x = 2,\ y = -1,$ o $(x, y) = (2, -1),$ como una solución, porque sustituyendo $x = 2$ e $y = -1$ en la ecuación la convierte en una declaración verdadera:]#

$3(2) + 2(-1) = 4$ ✓

#[There are in fact infinitely many solutions to this equation. Some additional ones are][Hay de heco infinitas soluciones para esta ecuación. Algunas soluciones adicionales son]#'."\n"

$(-1,\frac{7}{2}),\ \ (0, 2),\ \ (1, \frac{1}{2}),\ \ (2, -1),\ \ (3, -\frac{5}{2}),\ \ (4, -4),\ \ $ \t $ \cdots \ \ \left(x, \frac{1}{2}(4-3x)\right), \cdots$

#[Put $x = $ any value you like in the last one to get the corresponding solution.][Sustituya $x = $ cualquier valor que te gusta en el último par para obtener la solución correspondente.]#

#[The solutions][Las soluciones]#

$(-1,\frac{7}{2}),\ \ (0, 2),\ \ (1, \frac{1}{2}),\ \ (2, -1),\ \ (3, -\frac{5}{2}),$ %%and $(4, -4)$

#[are examples of particular solutions of $3x + 2y = 4$.][son ejemplos de soluciones particulares de $3x + 2y = 4$.]#

#[We obtained the $y$-coordinate of the last solution shown,][Obtuvimos la coordenada-$y$ de la última solución mostrada,]#

$\displaystyle \left(x, \frac{1}{2}(4-3x)\right)$

#[by solving the equation $3x + 2y = 4$ for $y$. This solution is the general solution paramaterized by $\bold{x}$, as it includes all the particular solutions. For instance, substituting $x = -1$ gives the first particular solution listed, substituting $x = 0$ gives the second, and so on.][por despejar la $y$ en la ecuación $3x + 2y = 4$. Esto es la solución general parametrizada por $\bold{x}$, ya que incluya todas las soluciones particulares. Por ejemplo, sustituyendo $x = -1$ nos da la preimera solución mostrada, sustituyendo $x = 0$ nos da la segunda, y así en forma parecido.]#

#[The graph of the equation $3x + 2y = 4$ consists of all points $(x, y)$ satisfying this equation; that is to say, the graph is the set of all solutions of $3x + 2y = 4$. If you plotted all these solutions you would find that they all lie on a straight line because, if you solve for $y$ you get $y = -1.5x + 2$, which is the equation of a straight line with slope -1.5 and $y$-intercept $2$. The following graph shows this line with the six points we calculated above plotted.][La gráfica de la ecuación $3x + 2y = 4$ está formada por todos los puntos $(x, y)$ que satisfacen esta ecuación; es decir, la gráfica es el conjunto de todas las soluciones de $3x + 2y = 4$. Si se graficaras todas estas soluciones, encontrarías que todas se encuentran en una recta, ya que, al despejar $y$, se obtiene $y = -1.5x + 2$, que es la ecuación de una recta con pendiente -1.5 e intersección-$y$ igual a $2$. La siguiente gráfica muestra esta recta con los seis puntos que calculados anteriormente trazados.]#

Some for you

Solutions of a system of two or more linear equations

#[A solution of a system of two or more equations in $\bold{x}$ and $\bold{y}$ consists of a pair of numbers $(x, y)$ that is simultaneously a solution to every equation in the system.][Una solución de un sistema de dos o más ecuaciones en $\bold{x}$ e $\bold{y}$ consiste en un par de números $(x,y)$ que es simultáneamente una solución de cada ecuación en el sistema.]#

Examples: Solutions of systems of two linear equations

#[The system][El sistema]#

$2x + y = 1$ \\ $x - y = -4$

#[has a solution $(x, y) = (-1, 3),$ because $(-1, 3)$ is a solution to both equations:][tiene $(x, y) = (-1, 3),$ como una solución, porque $(-1, 3)$ es una solución de ambas ecuaciones:]#

$2(-1) + 3 = 1$ ✓ \\ $(-1) - 3 = -4$ ✓

In fact, $(-1, 3)$ is the unique solution to the above system (meaning the only solution). We can see why graphically: The solutions to the first equation consist of all the points on the line $2x + y = 1$, and the solutions to the second consists of all the points on the line $x - y = -4.$ Thus a solution to the system consists of all points simultaneously on both lines. As those two lines cross in a single point, that point is therefore the only solution:

Solving systems with two unknowns graphically:

The above example suggests a way to find solutions to systems of equations graphically:

#[Solving a system of two linear equations graphically][Solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales gráficamente]#

#[For a point to represent a solution to a system of two linear equations in two unknowns, it must lie simultaneously on both of the corresponding lines. In other words, it must be a point where the two lines cross, or intersect.

Thus, to find solutions to such a system graphically, plot the graphs, and locate the intersection points (if any).][Para que un punto represente una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, debe estar simultáneamente en ambas de las rectas correspondientes. En otras palabras, debe ser un punto donde las dos rectas se cruzan, o se intersecten.

Por lo tanto, para hallar gráficamente soluciones de tal sistema, trazar las gráficas, y localizar los puntos de intersección (si los hay).]#

%%Example
#[Solve the following system graphically:][Resuelva el siguiente sistema gráficamente:]#

\t #[System][Sistema]#:

$2x + y = 4$
$2x - 3y = 0$

#[Graph:][Gráfica:]#

#[Solution][Solución]#:
#[The lines cross at the single point $(1.5, 1)$, so the only solution is $(x,y) = (1.5,1)$.][Las rectas se cruzan en el único punto $(1.5, 1)$, por lo que la única solución es $(x,y) = (1.5,1)$.]# $\quad$ (#[Unique solution][Solución ú;nica]#

One for you

#[Solve the following system graphically:][Resuelve el siguiente sistema gráficamente:]#

#[Sometimes, the lines may not cross in a single point:][A veces, las rectas pueden no cruzarse en un solo punto:]#

#[Examples: When the lines do not cross][Ejemplos: Cuando las líneas no se cruzan]#
#[Solve the following system graphically:][Resuelva el siguiente sistema gráficamente:]#

\t #[System][Sistema]#:

$x - 2y = -2$
$x - 2y = 2$

#[Graph:][Gráfica:]#

#[Solution][Solución]#:
#[This time, the lines are parallel, so they never cross, and therefore this system of equations has no solution (notice that the equations actually contradict each other). We call a system inconsistent if it has no solutions.][Esta vez, las rectas son paralelas, por lo que nunca se cruzan y, por lo tanto, este sistema de ecuaciones no tiene solución (nótese que las ecuaciones se contradicen). Decimos que un sistema es inconsistente si no tiene soluciones.]# $\quad$ (#[Inconsistent system][Sistema inconsiste]#

#[Solve the following system graphically:][Resuelva el siguiente sistema gráficamente:]#

\t #[System][Sistema]#:

$-x + y = 1$
$2x - 2y = -2$

#[Graph:][Gráfica:]#

#[Solution][Solución]#:
#[This time, the lines are on top of each other, so every single point on the line is common to both lines, and therefore every single point on the line is a solution. $(-1,0)$ and $(1,2)$ are two particular solutions shown on the graph. In general, given any $x$, there is a corresponding point on the graph with $y=x+1$. (Solve the equation $-x+y=1$ for $y$.) The resulting solution $(x,x+1)$ is called the general solution of the system. Systems in which two or more equations represent the same line are called redundant systems.][Esta vez, las rectas están superpuestas, por lo que cada punto de la recta es común a ambas y, por lo tanto, cada punto de la recta es una solución. $(-1,0)$ y $(1,2)$ son dos soluciones particulares que se muestran en la gráfica. En general, dado cualquier $x$, existe un punto correspondiente en la gráfica con $y=x+1$. (Resuelva la ecuación $-x+y=1$ para $y$). La solución resultante $(x,x+1)$ se denomina solución general del sistema. Los sistemas en los que dos o más ecuaciones representan la misma recta se denominan sistemas redundantes.]#

#[Systems of three or more equations:][Sistemas de tres o más ecuaciones:]#

%%Q #[As two equations are sufficient to obtain a solution, why bother with more?][Ya que dos ecuaciones son suficientes para obtener una solución, ¿por qué molestarse con más?]#
%%A #[Here is one reason: Linear equations often arise in real world situations as "constraints" or requirements, as you will see when you get to the applications part of this tutorial. But the real world does not concern itself with knowing that two linear equations suffice to obtain the solution, and so it can happen that a real situation gives rise to any number of equations whatsoever.][Aquí está una razón: ecuaciones lineales a menudo surgen en situaciones del mundo real como "restricciones" o requisitos, como verás cuando llegas a la parte de este tutorial que trata de aplicaciones. Pero el mundo real no se preocupa por conocer que dos ecuaciones lineales son suficientes para obtener la solución, y así puede suceder que una situación real se conduce a cualquier número de ecuaciones de ningún tipo.]#

%%Q Ok, so we know that with two equations, the lines can either intersect (unique solution), be on top of each other (infinitely many solutions) or be parallel (no solutions).What can happen with three or more?
%%A With any number of linear equations there are still three possibilities as there are with two: a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. The following figure illustrates some ways these possibilities can arise with three equations.

$\color{red}{2x+y=4} \quad \color{green}{3x-2y=6} \quad \color{blue}{x-2y=2}$

#[Unique solution
All three lines intersect at the same point.][Solución única
Todos tres rectas se intersectan en el mismo punto.]#

$\color{red}{2x+y=4} \quad \color{green}{-2x+4y=-4} \quad \color{blue}{x-2y=2}$

#[Unique solution
two of the lines are the same, and the third intersects them.][Solución única
Dos de las rectas son las mismas, y la tercera las intersecta.]#

$\color{red}{x+2y=4} \quad \color{green}{-x+y=1} \quad \color{blue}{x-2y=0}$

#[No solution
The lines intersect, but not at a single point.][Ningún solución
Las rectas se intersectan, pero no en un solo punto.]#

$\color{red}{x+2y=4} \quad \color{green}{-x+y=1} \quad \color{blue}{x+2y=-2}$

#[No solution
The lines intersect, but not at a single point.][Ningún solución
Las rectas se intersectan, pero no en un solo punto.]#

$\color{red}{x+2y=4} \quad \color{green}{x+2y=0} \quad \color{blue}{x+2y=-2}$

#[No solution
All three lines are parallel.][Ningún solución
Todas tres rectas son paralelas.]#

Now try some of the exercises in Section 3.1 in Finite Mathematics or Section 4.1 in Finite Mathematics and Applied Calculus. or move ahead to the Part B of this tutorial by pressing "Next tutorial" on the sidebar.