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Cálculo aplicado resumen del tema: funciones de varias variables

Herramientas: Graficador de superficies | Graficador Excel de superficies

Tópicos: Funciones de varias variables | Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia | Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables | Derivadas parciales | Interpretación geometrica de derivadas parciales | Máximos y mínimos | Máximos y mínimos restringidos | Integrales dobles

Funciones de varias variables


Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).

La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.

Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

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Ejemplos

1. f(x, y) = x - y Función de dos variables
f(1, 2) = 1 - 2 = -1 Sustituya x por 1 y y por 2
f(2, -1) = 2 - (-1) = 3 Sustituya x por 2 y y por -1
f(y, x) = y - x Sustituya x por y y y por x
2. h(x, y, z) = x + y + xz Función de tres variables
h(2, 2, -2) = 2 + 2 + 2(-2) = 0     Sustituya x por 2, y por 2, y z por -2.

3. Sea P(x, y) = x2 + xy - y2. Introduce los valores de p en la siguiente tabla, y pulse "Verifica".

x →
-101
y-1
0
1
 

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Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia

Funciones lineales
Una función lineal de los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma

    f(x1, x2, ... , xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn
donde a0, a1, a2, ..., an son constantes.

Funciones de interacción
Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj (b constante), obtenemos una función de interacción de la segunda orden.

Funciones de distancia
La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de los dos variables x y y:

    d(x, y) = [(x - a)2 + (y - b)2]1/2.

(Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por

    d(x, y) = [x2 + y2]1/2.

La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por

    d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.

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Ejemplos

Funciones lineales y de interacción
1. f(x, y) = 2 + 4x -y Función lineal de x, y
2. C(x, y, z) = x -3y + 2z     Función lineal de x, y, z
3. R(x, y, z) = 4 - x -3y + 2z + 0.03xy - 0.02xz
Función de interacción de x, y, z
4. P(x, y, z) = x + y2 - 0.03z  es
5. Q(x, y, z) = 1 + xy     es
6. T(x, y, z) = 4       es

Funciones de distancia
1. La distancia entre los puntos (3, -2) y (-1, 1) es

    d = [(-1-3)2 + (1+2)2]1/2 = 251/2 = 5.

2. La distancia de (6, 8) al origen (0, 0) es

 

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Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables

Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como montrado en la siguiente figura.

  • La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz.
    (Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
  • La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz.
    (Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.)
  • La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy.
    (Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

Gráfica de una función de dos variables
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

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Ejemplos

La siguiente figura demuestra donde se queda el punto (1, 2, 3) en espacio tridimensional.

La gráfica de f(x, y) = x2 - y2 se muestra en la siguiente figura.

Hay muchos más ejemplos en el libro de texto. Si quiere experimentar a hacer gráficas de superficies en su computadora, pruebe el Graficador de superficies o, si se prefiere Excel, el Graficador Excel de superficies.

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Derivadas parciales
La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes.

En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.

Interpretación
f

x
es la razón de cambio de f a medida que cambia x, cuando y se permanece constante.
f

y
es la razón de cambio de f a medida que cambia y, cuando x se permanece constante.

Derivadas parciales de orden superior
Si f está una función de x, y, y posiblemente otras variables, entonces

    2f

    x2
    se define como


    x
    f

    x

En forma parecida,

    2f

    y2
    se define como


    y
    f

    y
    2f

    yx
    se define como


    y
    f

    x
    2f

    xy
    se define como


    x
    f

    y

La derivada parcial del segundo orden se puede escribir también como fxx, fyy, fxy, y fyx respectivamente.

Las ultimas dos se llaman derivadas mixtas y estarán siempre iguales cuando todas las derivadas de primer y segundo orden están continuas.

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Ejemplos
1.
f(x, y) = x2 - y2
f

x
= 2x - 0 = 2x
porque y2 se considera constante
f

y
= 0 - 2y = -2y
porque x2 se considera constante
2.
z = x2 + xy
z

x
= 2x + y


x
(xy) =


x
(x.constante)
= constante = y
z

y
= 0 + x


y
(xy) =


y
(constante.y)
= constante = x
3.
z = x2 + y3 + xy2
z

x
=
   
z

y
=
   
2z

x2
=
   
2z

y2
=
   
2f

yx
=
   

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Interpretación geometrica de derivadas parciales

Si f está una función de x y y, el proceso de tomar la derivada parcial ∂f/∂x y evaluarla a (a, b) es nada más que tomar constante y a y = b y calcular la razón de cambio de f en el punto x = a. Entonces, la derivada parcial es el pendiente de la recta tangente en el punto donde x = a y y = b, a lo largo del plano que pasa por y = b. (Vea la figura más abajo.)

z

y
(a, b) es el pendiente de la recta tangente en el punto P(a, b, f(a, b)) a lo largo del corte que pasa por y = b.

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Máximos y mínimos

Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.

La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones

fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.

Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables
Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea

H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2.
Entonces

    f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,

    f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y

    f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.

Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

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Ejemplos

1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema

    2x = 0
    -2(y-1) = 0.
La primera ecuación produce x = 0, y la segunda da y = 1. Entonces, el único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de f es el plano cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.

Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:

    fxx(x, y) = 2
    fyy(x, y) = -2
    fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0
Después calcule
    H= fxx(0, 1)fyy(0, 1) -[fxy(0, 1)]2
    = (2)(-2) -02 =- 4
Como H es negativo, tenemos un punto de silla a (0, 1). Aquí está la gráfica de f que muestra su ubicación.

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Máximos y mínimos restringidos

Un problema restringido de optimización Tiene la forma

Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.
Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.

Multiplicadores de Lagrange
Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ:

fx = λgx
fy = λgy
    ...
g = 0
El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g = 0.

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Integrales dobles

Definición geométrica de la integral doble
La integral doble de f(x, y) en la región R del plano xy se define como

R f(x, y) dx dy
= Volumen arriba de la región R y abajo de la gráfica de f
      - Volumen abajo de la región R y arriba de la gráfica de f.

La siguiente figura demuestra el volumen (en el caso que la gráfica de f está arriba de la región R).


Calculación de integrales dobles
Si R es el rectángulo axb y cyd (vea la figura más abajo) entonces

R f(x, y) dx dy = d

c
b

a
f(x, y) dx dy
= b

a
d

c
f(x, y) dy dx


Si R es la región axb y c(x) ≤ yd(x) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación:

R f(x, y) dx dy = b

a
d(x)

c(x)
f(x, y) dy dx


Si R es la región cyd y a(y) ≤ xb(y) (como se demuestra en la figura más abajo) entonces se calcula la integral en R con la siguiente ecuación:

R f(x, y) dx dy = d

b
b(y)

a(y)
f(x, y) dx dy

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Ejemplos

Si R es el rectángulo 1 ≤ x ≤ 2 y 1 ≤ y ≤ 3, entonces

R x dx dy =
3

1
2

1
x dx dy
=
3

1
3

2
dy
= 3


Sea R la región definida por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x (vea la figura)

R x dx dy =
2

0
x

0
x dy dx
=
2

0
xy x

y=0
dx
=
2

0
x2 dx =
8

3


Sea R la misma región que lo más arriba, pero esta vez descrita por 0 ≤ y ≤ 2, yx ≤ 2 (vea figura)

R x dx dy =
2

0
2

y
x dx dy
=
2

0
x2

2
2

x=y
dy
=
2

0
2 -
y2

2
dy =
8

3

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Ultima actualización: julio 2007
Derechos de autor © Stefan Waner

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