Funciones trigonometrícas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble

Sección: 2. Las Seis Funciones Trigonometrícas

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2. Las Seis Funciones Trigonometrícas

Las dos funciones trigonometrícas básicas son: seno (que ya hemos estudiado), y coseno. Tomando proporciones y valores inversos de estas funciones, podemos obtener otras cuatro funciones, llamadas tangente, secante, cosecante, y cotangente.

Coseno

Volvamos a la bicicleta presentada en la sección anterior, y recordemos que el seno de $t,$ $\sen t,$ se definió como la coordenada y una marca en la rueda. El coseno de un número real $t,$ representada con $\cos t,$ se define casi de la misma manera, excepto que esta vez, usamos la coodenada $x$ de la marca en la rueda. (Vea la figura).

$\cos t$ es definida por la coordenada $x$ de la abscisa del punto $P$ en la rueda.

Primero observa que las coordenadas del punto $P$ en el diagrama anterior son $(\cos t,  \sen t),$ y que la distancia de $P$ al punto de origen es 1 unidad. De la formula para la distacia en el capitulo 8 de Cálculo Aplicado al Mundo Real o capitulo 15 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real, tenemos:

La ecución se puede expresar como

Esta ecuación es una de las relaciones importantes entre las funciones seno y coseno.

Identidad trigonométrica fundamental

    $\sen^2t + \cos^2t = 1$

Ahora vemos la gráfica de la función coseno. La gráfica, como se podría esperar, es idéntica a la gráfica de la función seno, excepto que está desplazada por un "desplazamiento de fase" (vea la figura).

Esto da el siguiente nuevo par de identidades.

Nuevas relaciones entre seno y coseno

Se puede obtener la curva cosenoide desplazando la cueva senoide hacia la izquierda, una distancia igual a $\pi/2.$ Por lo contrario, se puede obtener la cueva senoide de la curva cosenoide desplazandola $\pi/2$ dos unidades a la derecha.

    $\cos t = \sen(t + \pi/2)$
    $\sen t = \cos(t - \pi/2)$

Formulación alternativa

También se puede obtener la cueva cosenoide invirtiendo primero la cuerva senoide de manera vertical (sustituyendo $t$ por $-t$) y desplazándola hacia la derecha una distancia igual a $\pi/2.$ Con esto obtenemos dos fórmulas alternativas (que son más fáciles de recordar):

    $\cos t = \sen(\pi/2 - t)$
    $\sen t = \cos(\pi/2 - t)$

Pregunta
Ya que se puede formular la función coseno en términos de la función seno, ¿para qué se necesita la función coseno?

Respuesta
Desde el punto de vista tecnico, para nada; no se necesita la función coseno, y nos podemos arreglar sólo con la función seno. Por otra parte, conviene tener a la mano la función coseno porque comienza en el punto máximo y no en cero. Estas dos funciones, y sus relaciones, desempeñan papeles importantes e las matemáticas.

La función coseno en general (Curva general de coseno)

Observa que el punto base está en el punto máximo de la cuerva. Todas las constantes tienen el mismo significado en la cueva senoide en general:

    $A$ es la amplitud (la altura de cada punto máximo sobre la línea base).
    $C$ es el desplazamiento vertical (la altura de la línea base).
    $P$ es el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo).
    $ω$ es la frecuencia angular, y esta definida por $ω = 2\pi/P$
    $α$ es el desplazamiento de fase (el desplazamiento horizontal del punto de base; donde la curva alcanza su máximo)

Ejemplo 1 Flujo de caja en acciones

El flujo anual de efectivo en acciones (medido en porcentaje de activo totales), ha fluctuado en ciclos de unos 40 años desde 1955, cuando estaba en un punto máximo. Los máximos aproximados fueron $+15%$ de los activos totales, mientras que los mínimos aproximados fueron $-10%$ de los activos totales.*

* Fuente: Investment Company Institute/The New York Times, 2 de febrero de 1997. p. F8.

Solución

(a) La representación del coseno se parece a la del seno; buscamos una función de la forma

Amplitud $A$ y desplazamiento $C:$
Ya que el flujo de efectivo fluctúa entre $-10%$ y $+15%,$ podemos expresar esto como una fluctuación de $A = 12.5,$ respecto al promedio $C = 2.5.$

Periodo $P:$
Según el enunciado, $P = 40.$

Frecuencia angular $ω:$
Esto se determina con la formula

Desplazamiento de fase α:
El punto base está en el punto máximo de la curva, y el dato es el flujo de caja que estaba en un punto máximo cunado $t = 0.$ En consecuencia, el punto base está en $t = 0,$ y por lo que $α = 0.$

Al armar el modelo se obtiene

en donde $t$ es el tiempo en años.

(b) Para pasar de una representación con coseno a una con seno se puede usar una de las ecuaciones antes dadas. Aquí, usemos la fórmula

En consecuencia,


Las demás funciones trigonométricas

Como mencionamos anteriormente, podemos usar razones y recíprocas del seno y el coseno para obtener cuatro nuevas funciones con su propio nombre. Que son:

Tangente, Cotangente, Secante, y Cosecante
    $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ tangente
    $\cotan x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$ cotangente
    $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ secante
    $\cosec x = \frac{1}{\sin x}$ cosecante

Ejemplo 2

Usa la tecnología para graficar la curva de $y = sec x$ para $-2\pi ≤ x ≤ 2\pi$

Solución

Donde

podemos entrar esta función como

	$Y_1 = 1/\cos(x).$

Para ajustar la ventana, vamos a usar $-2\pi ≤ x ≤ 2\pi,$ y $-7 ≤ y ≤ 7.$ Aquí está la gráfica que se obtiene.

Pregunta
¿Qué hacen aquí las líneas verticales?

Respuesta
Ya que definimos la función secante como $sec x = 1/\cos x,$ sabemos que no se define cuando el denominador es cero. Es decir, cuando

Consultando la gráfica de $\cos x,$ encontramos que esto ocurre cuando $x = ±\pi/2, ±3\pi/2, ±5\pi/2,...$

Por lo tanto, estos valores no estan en el dominio de la función secante. Además, cuando $x$ tiene estos valores, $\sec x$ llega a ser muy grande numéricamente, pero cambia de signo cuando cruzamos estos valores, causando la calculadora gráfica hacer repentinos saltos de grandes valores negativos de y a grandes valores positivos. Por lo tanto, las líneas verticales son asíntotas.

Si has estudiado la sección en límites en el capítulo 3 de Cálculo Aolicado al Mundo Real, o capítulo 10 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aolicado al Mundo Real, reconocerás este fenómeno en términos de límites; Por ejemplo,

Antes de seguir...

Aquí están las graficas de las cuatro funciones. Podrías intentar reproducirlas y pensar sobre las asíntotas


$\tan x = \sen x/\cos x$


$\cotan ;x = \cos x/\sen x$


$\sec x = 1/\cos x$


$\cosec x = 1/\sen x$


Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

Volvamos a la figura que define el seno y el coseno, pero esta vez, pensemos de estas dos cantidades como longitudes de los lados de un triángulo rectángulo:

También pensamos en la cantidad t como una medida del ángulo que se muestra en lugar de la longitud de un arco. Mirando la figura, nos encontramos con que

Esto nos da las seis fórmulas siguientes

Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

<
Definición de la fórmula
Proporción en triángulo rectángulo
$\sen t =$ coordenada $y$ del punto $P$
$\sen t = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$
$\cos t =$ coordenada $x$ del punto $P$
$\cos t = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$
$\tan t = \frac{\sen t}{\cos t}$
$\tan t = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$
$\cotan t = \frac{\cos t}{\sen t}$
$\cotan t = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}}$
$\sec t = \frac{1}{\cos t}$
$\sec t = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}$
$\cosec t = \frac{1}{\sen t}$
$\cosec t = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}}$

1. Modelos con la función seno Ejercicos para la sección 2 3. Derivadas de Funciones Trigonometrícas Pagina principal de Funciones Trigonometrícas Mundo Real Todo para Cálculo Aplicado

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Última actualización: Junio, 2013
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