Derivada de $\sen x$
La derivada de la función seno se da por
|
Eso es todo lo que hay que hacer!
Pregunta
¿De dónde vino esto?
Respuesta
Lo justificaremos al final de esta sección. (Si no puedes esperar, presiona la perla para ir ahí ahora).
Ejemplo 1
Calcula $dy/dx$ si:(a) $y = x \sen x$ | (b) $y = \cosec x$ | (c) $y = \frac{x^2+x}{\sen x}$ |
(d) $y = \sen(3x^2 -1)$ |
Solución
(a) Una aplicación de la experimento mental de cálculo (EMC)* nos dice que $x \sen x$ es un producto;$y = (x)(\sen x).$
Por lo tanto, por la regla del producto,
Por lo tanto, por la regla del cociente,
Nota que acabamos de obtener una derivada de las cinco funciones trigonométricas restantes. Faltan cuatro...
(c) Ya que la función dada es un cociente,
y vamos a dejarlo así (no hay ninguna simplificación fácil de la respuesta).
(d) Aquí, una aplicación del EMC nos dice que y es el seno de una cantidad.
Ya que
La regla de cadena ( presione la perla para ir a un resumen del tema para una revisión rápida) nos dice que
por lo tanto
* Ve el ejemplo 6 en p. 258 en Cálculo Aplicado al Mundo Real, o p. 756 en Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real. Alternativamente, presione aquí para consultar el resumen del tema en línea, donde la EMC también se discute.
Antes de seguir...
Trata de evitar escribir expresiones como $\cos(3x^2-1)(6x).$ ¿Esto significa
o significa
Pregunta
¿Qué pasa con la derivada de la función coseno?
Respuesta
Utilicemos la identidad
$\cos x = \sen(\pi/2-x)$
de la sección 1, y sigamos el método del ejemplo 1(d) arriba: si
$y = \cos x = \sen(\pi/2-x),$
entonces, usando la regla de cadena,
Pregunta
¿Qué tal tres funciones trigonométricas restantes?
$\frac{d}{dx} \sen x = \cos x$ | $\frac{d}{dx} \sen \color{blue}{u} = \cos \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$ |
$\frac{d}{dx} \cos x = -\sen x$ | $\frac{d}{dx} \cos \color{blue}{u} = -\sen \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$ |
$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$ | $\frac{d}{dx} \tan \color{blue}{u} = \sec^2\color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$ |
$\frac{d}{dx} \cotan x = -\cosec^2 x$ | $\frac{d}{dx} \cotan \color{blue}{u} = -\cosec^2 \color{blue}{u} \frac{d \color{blue}{u}}{dx}$ |
$\frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$ | $\frac{d}{dx} \sec \color{blue}{u} = \sec \color{blue}{u}\ \tan \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$ |
$\frac{d}{dx} \cosec x = -\cosec x \cotan x$ | $\frac{d}{dx} \cosec \color{blue}{u} = -\cosec \color{blue}{u}\ \cotan \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$ |
Ejemplo 2
Determina la derivada de las siguientes funciones.
(a) $f(x) = \tan(x^2-1)$ | (b) $g(x) = \cosec(e^{3x})$ | (c) $h(x) = e^{-x}\sen(2x)$ |
(d) $r(x) = \sen^2x$ | (e) $s(x) = \sen(x^2)$ |
Solución
(a)Ya que $f(x)$ es la $\tan$ de una cantidad, usamos la regla de cadena:
$\frac{d}{dx} \tan(x^2-1) = \sec^2(x^2-1) \frac{d(x^2-1)}{dx} $ (sustituyendo $u = x^2-1)$ |
$\ \ \ \ \ \ \ \ = 2x\ \sec^2(x^2-1).$ |
$\cosec \color{blue}{u} = -\cosec \color{blue}{u}\ \cotan \color{blue}{u}$ |
$\cosec(e^{3x})$ | $= -\cosec(e^3x) \cotan(e^{3x}) \frac{d(e^{3x})}{dx}$ | ||
$=-3e^{3x} \cosec(e^{3x}) \cotan(e^{3x}).$ | (la derivada de $e^{3x}$ es $3e^{3x})$ |
$h'(x)$ | $=$ |
|
|||||
$=$ |
|
(usando $d/dx \sen u= \cos u\ du/dx)$ | |||||
$=$ | $-e^{-x}\sen(2x) + 2e^{-x}\cos(2x).$ |
$[ \color{blue}{u^2}]$ | $=$ | $2\color{blue}{u}$ |
$[(\sen x)^2]$ | $=$ | $2(\sen x)$ | $=$ | $2 \sen x \cos x.$ |
$\frac{d}{dx} \sen \color{blue}{u} = \cos \color{blue}{u} \frac{d\color{blue}{u}}{dx}$ |
$\frac{d}{dx}$ | $\sen(x^2) = \cos(x^2) \frac{d(x^2)}{dx}$ |
$= 2x \cos(x^2).$ |
Pregunta
Todavia hay algunos asuntos pendientes...
Respuesta
Efectivamente. Ahora nos motivará la fórmula que comenzó todo:
Vamos a hacer este cálculo partiendo de cero, usando la fórmula general par una derivada:
$\frac{d}{d} \sen(x) = \lim {h \to 0} \frac{\sen(x+h) - \sen(x)}{h}$ | . . . . (I) |
Sustituyendo esto en la formula (I) da
$\sen(x) = \lim {h \to 0} \frac{\sen x (\cos h - 1) + \cos x \sen h}{h}$ | |
$= \lim {h \to 0} \frac{\sen x (\cos h - 1)}{h} + \lim {h \to 0} \frac{\cos x \sen h}{h}$ | |
$= \sen x\ \lim {h \to 0} \frac{(\cos h - 1)}{h} + \cos x\ \lim {h \to 0} \frac{\sen h}{h}$ |
y nos quedamos con dos límites para evaluar. Calcular analíticamente estos límites requiere un poco de trigonometría (presiona aquí para estos cálculos). Alternativamente, podemos tener una buena idea de lo que son estos dos límites por estimación numérica. Encontramos que:
y
Por lo tanto,
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