Matriz ampliada

En la ecuación lineal en las $n$ incógnitas $x_1, x_2, ..., x_n$

$\displaystyle a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + ... + a_nx_n = b,$

los números $a_1, a_2, ..., a_n$ se llaman los coeficientes de la ecuación, y $b$ es el termino constante o sencillamente el lado derecho.

La fila coeficiente de la ecuación $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + ... + a_nx_n = b$ es la matriz fila (o matriz renglón) $[a_1\ \ a_2\ \ ...\ \ a_n\ \ b]$

La matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz cuyas renglones son las filas coeficiente.

Operaciones elementales de fila

Cuando resolvimos sistemas lineales de ecuaciones por eliminación (ver Parte 1 de este resumen) lo hicimos por

• multiplicar ambos lados de las ecuaciones seleccionadas por constantes, y luego
• sumar las ecuaciones resultantes.

Si representamos las ecuaciones como filas (o renglones) de coeficientes en una matriz, entonces lo que hicimos corresponde a multiplicar filas por constantes (distintas de cero) y luego sumar las filas resultantes. Estas operaciones en filas son ejemplos de operaciones elementales de fila, que son operaciones que podemos hacer en la matriz ampliada de un sistema que no cambian las soluciones (si las hay) y nos permite obtener la solución.

Consideramos tres tipos de operaciones que podemos hacer en la matriz ampliada de un sistema sin afectar la solución del sistema subyacente:

Tipo 1: Reemplazar $R_{i}$ por $aR_{i}$ donde $a \neq 0$; es decir, multiplicar un renglón por un número distinto de cero.

Tipo 2: Reemplazar $R_i$ por $aR_i \pm bR_j$ donde $a \neq 0$; es decir, multiplicar un renglón por un número distinto de cero u sumar o restar un núltiple de u otro renglón

Tipo 3: Cambiar el orden de los renglones

Par tipos 1 y 2 escribimos la instrucción para la operación de renglón a lo lado del renglón que quermos reemplazar.

Estamos usando el término "operaciones elementales de renglón" más libremente que la mayoría de los libros: tradicionalmente, se insiste en que $ a = 1 $ en una operación de Tipo 2, y que solo se permiten intercambios de fila en el Tipo 3. Sin embargo, nuestras operaciones menos restrictivas se pueden obtener combinando dos o más de las operaciones más estrictas, y también nos permiten reducir matrices integrales en menos pasos.

Nota importante
Como se observó anteriormente, las operaciones de renglón elemental no afectan las soluciones (si las hay) del sistema de ecuaciones correspondiente, por lo tanto, si el resultado de realizar estas operaciones es una matriz agradable y simple como, digamos,

	$1$	$0$	$0$	$0$	$4$
	$0$	$1$	$0$	$0$	$-3$
	$0$	$0$	$1$	$0$	$\frac{3}{2}$
	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$

entonces el sistema original de ecuaciones (lo que sea que haya sido) tiene la solución

$x_1 = 4, x_2 = -3, x_3 = \dfrac{3}{2}, x_4 = 0$,

ya que es lo que dice la matriz anterior.

Esta es la razón por la que hacemos operaciones de renglón: para simplificar una matriz hasta el punto de que simplemente puedes leer la solución.

Despejar una columna: Pivotar

Si seleccionamos cualquier entrada distinta de cero in una matriz, decimos que su columna está despejada si todas las demás entradas de esa columna son cero.:

Ejemplo:	$\begin{bmatrix} 4 & \color{indianred}{0} & -1 & 2 \\0 & \color{indianred}{0} & 1 & -1 \\7 & \color{indianred}{\box{-1}} & 9 & 0\\3 & \color{indianred}{0} & -2 & 0\end{bmatrix}$    tiene la columna (roja) de la entrada encajada $-1$ despejada.

Observa que, si la matriz anterior se considera como la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones en tres incógnitas $ x, y, z$, entonces el hecho de que la columna $y$ se despeja significa que $y$ se ha eliminado de Todas las ecuaciones excepto la tercera. En general:

Usar operaciones de fila elementales para despejar una columna de alguna entrada distinta de cero es equivalente a eliminar la variable correspondiente de las otras ecuaciones.

Pivotar en una entrada distinta de cero, llamada la entrada pivote de una matriz significa utilizar operaciones de fila elementales para despejar su columna.

Cómo pivotar

Forma escalonada reducida por filas

Si hemos resuelto un sistema de $n$ ecuaciones lineales de $n$ incógnitas, entonces su matriz aumentada se verá así:

	Sistema resuelto	Matriz ampliada
$n = 2$	$x = a$ $y = b$	$1$ $0$ $a$   $0$ $1$ $b$
$n = 3$	$x = a$ $y = b$ $z = c$	$1$ $0$ $0$ $a$   $0$ $1$ $0$ $b$ $0$ $0$ $1$ $c$
. . .
Caso general	$x_1 = a_1$ $x_2 = a_2$ $x_3 = a_3$ $...$ $x_n = a_n$	$1$ $0$ $0$ $...$ $0$ $a_1$   $0$ $1$ $0$ $...$ $0$ $a_2$ $0$ $0$ $1$ $...$ $0$ $a_3$ $...$ $...$ $...$ $...$ $...$ $...$ $0$ $0$ $0$ $...$ $1$ $a_n$

Todas estas matrices están en lo que llamamos forma escalonada reducida por filas. Una matriz está en forma escalonada reducida por filas si tiene las siguientes propiedades:

• La entrada principal (es decir, l primera entrada distinta de cero) en cada fila es un 1.
  $\qquad$

  	$\box{1}$	$0$	$0$	$...$	$0$	$a_1$
  	$0$	$\box{1}$	$0$	$...$	$0$	$a_2$
  	$0$	$0$	$\box{1}$	$...$	$0$	$a_3$
  	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
  	$0$	$0$	$0$	$...$	$\box{1}$	$a_n$

  
  
  
• La columna de cada entrada principal es despejada (ve "Despejar una column" arriba).
  $\qquad$

  	$\color{indianred}{\box{1}}$	$\color{blue}{0}$	$\color{green}{0}$	$...$	$\color{purple}{0}$	$a_1$
  	$\color{indianred}{0}$	$\color{blue}{\box{1}}$	$\color{green}{0}$	$...$	$\color{purple}{0}$	$a_2$
  	$\color{indianred}{0}$	$\color{blue}{0}$	$\color{green}{\box{1}}$	$...$	$\color{purple}{0}$	$a_3$
  	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$	$...$
  	$\color{indianred}{0}$	$\color{blue}{0}$	$\color{green}{0}$	$...$	$\color{purple}{\box{1}}$	$a_n$
  	$\color{indianred}{\Big\uparrow}$	$\color{blue}{\Big\uparrow}$	$\color{green}{\Big\uparrow}$	$\ $	$\color{purple}{\Big\uparrow}$	$\ $

  
  Columnas de las entradas principlaes despejados
  
  
• Las filas están ordenados de modo que las entradas principales van de izquierda a derecha a medida que vamos de arriba a abajo. Además, filas de ceros (si hay) están en la parte inferior. (No hay ningunas en los ejemplos que hemos visto hasta ahora.)

Llamaremos a una matriz reducida si está en la forma escalonada reducida por fila.

Reducir una matriz: Paso preliminar y pasos simplificadores

Básicamente, todo lo que necesita hacer para reducir una matriz a la forma escalonada reducida por fila, es pivotar en la entrada principal de cada fila y luego reorganizar las filas si es necesario para que las entradas principlaes vayan de izquierda a derecha y cualquier fila de ceros están en la parte inferior. Sin embargo, como preferimos trabajar con matrices integrales, hay un paso preliminar y algunos pasos intermedios que haces mucho más fácil todos los cálculos. Aquí está el paso preliminar:

Paso preliminar: Eliminar todas las fracciones y/o decimales (si hay) antes de empezar.

Despejamos todas las fracciones y los decimales (terminales) por multiplicar las filas que los contengan por números enteros apropiados distino de cero.

Espicificamente, despejamos las fracciones en cualquier fila multiplicando esa fila por un múltiplo común de los denominadores que aparecen en esa fila (preferiblemente el mínimo múltiplo común para evitar números que son demasiado grandes; ve el paso simplicifar a continuación). Para despejar los decimales terminales, miltiplica por un número entero suficientemente grande, (como 4, 5, 10, 20, 40, 50, 100, .. etc.). Decimales repitivos deben convertirse primero en fracciones.

Paso simplificador (opcional): Dividir cada fila por cualquier factor comun (si hay uno).

Este paso (opcional) se puede hacer en cualquier punto del cálculo. Aunque es opcional, hace que los enteros con los que trabajamos sean lo más pequeños posible, por lo que los cálculos serán más fáciles. Por ejemplo, si todos los números de una fila son pares, divide esa fila por 2, o si todos los números de una fila son divisibles por 10, luego divide esa fila por 10. Asegúrete de que sea un factor común , o de lo contrario resultarán fracciones y venceremos el objetivo del paso preliminar.

Reducir una matriz y solucionar el sistema asociado (caso de solución única

Una vez que la matriz está en forma integral (y preferiblemente simplificada para evitar números grandes) el proceso de reducción es el siguiente:

• Pivota en la entrada principal (es decir, la primera entrada distinta de cero) en la primera fila.
• Luego, pivote sobre la entrada principal en la segunda fila, luego en la entrada principal en la tercera fila, continuando de esta manera hasta que has despejado las columnas de cada entrada principal.
• En cada etapa de este proceso, realiza pasos de simplificación si corresponde.
• Al terminar, la matriz se reduce esencialmente, aparte de posiblemente tener que reordinar las filas.

Reducir una matriz y solucionar el sistema asociado (solución no única o ninguna solución

Observa que el resultado cuando terminaste con el ejemplo anterior tuvo una forma particularmente agradable: las entradas diagonales son todas unos. Sin embargo, el siguiente ejemplo muestra que es posible que no siempre se obtenga ese tipo de resultado: