Tutorial: Área entre dos curvas

Recursos

Nota Para seguir este tutorial, debes saber como itlizar la integral definita para calcular el área entre una gráfica de una función y el eje-$x.$

Fundamentos

En este tutorial vemos cómo calcular el área entre las gráficas de dos funciones $f$ y $g$ en un intervalo como se muestra:

Observa que, en el ejemplo que se mustra, las curvas no se cruzan durante el intervalo $[a, b]$. Nos centraremos en este caso primero.

Área entre dos gráficas que no cruzan

En la situación ilustrada anteriormente, donde la gráfica de $f$ nunca se encuentra por debajo de la gráfica de $g$ cuando $x$ está en el intervalo $[a, b]$ (así que $f(x) \geq g(x)$ para toda $x$ en $[a, b]$), el área de la región entre loas gráficas de $f$ y $g$ y entre $x = a$ y $x = b$ es

Integral de (Arriba − Abajo)

Precaución Si las gráficas de $f$ y $g$ se cruzan en el intervalo $[a, b]$, la fórmula anterior no se aplica (ver más abajo).

Ejemplo

La gráfica de $f(x) = x+1$ nunca se encuentra por debajo de la gráfica de $g(x) = x^2-1$ cuando $x$ está en el intervalo $[-1,1].$

%Therefore,

%Area \t $= \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)]\.dx$ \\ \t $= \int_{-1}^{1} [(x+1) - (x^2-1)]\.dx$ \\ \t $= \int_{-1}^{1} (-x^2 + x + 2)\.dx$ \\ \t $= \Bigl\[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\Bigr\]_{-1}^{1}$ \\ \t $= \Bigl(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\Bigr) = \frac{4}{3}.$

Hallar el área encerrado por $y = %10, \ y = %11, \ x = %14$ and $x = %15.$

Área

%Q ¿Qué tal de curvas que cruzan?
%A Eso es nuestro siguiente orden del día:

Área entre dos gráficas que cruzan

Supongamos que las curvas se cruzan en uno o más puntos como se ilustra aquí:

Entonces, date cuenta que no se cruzan dentro de ningunos de los intervalos intermedios $[a,c], [c,d]$ %and $[d,b],$ por lo que podemos calcular los áreas entre sucesivos puntos de cruce y sumarlos:

Determina las coordinandas-$x$ de todos los puntos en los que cruzan las curvas. (Pon $f(x) = g(x)$ y despeja a $x.$).
A continuación, individualmente calcula el área entre las curvas para $x$ entre puntos de cruce sucesivos como anteriormente.
Finalmente, suma los áreas individuales así obtenidos.

$\int_{a}^{c} [f(x) - g(x)]\.dx$

$\int_{c}^{d} [g(x) - f(x)]\.dx$

$ \int_{b}^{b} [f(x) - g(x)]\.dx .\qquad $

Integral de (Arriba − Abajo)

Observa que, en cada subintervalo, debemos decidir cuál es la función arriba.

Ejemplo

Como antes, sea $f(x) = x+1$ y $g(x) = x^2-1.$ Esta vez, halla el área total encerrado por las doscurvas y las rectas verticales $x=0$ y $x=3.$

Para determinar las coordinandas-$x$ de todos los puntos en los que cruzan las curvas, ponemos $f(x) = g(x)$ y despejamos a $x:$

$x+1 = x^2-1 \quad $ \t $\Rightarrow \quad x^2-x-2 = 0$ \\ \t $\Rightarrow \quad (x+1)(x-2) = 0$ \\ \t $\Rightarrow x = -1$ %or $2$

Entre estos, solo $x = 2$ está estrictamente dentro del intervalo $[0, 3]$ que nos interesa. %Therefore,

%Area \t $= \int_{0}^{2} [(x+1) - (x^2-1)]\.dx$ $+$ $\int_{2}^{3} [(x^2-1) - (x+1)]\.dx$ \\ \t $= \int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2)\.dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x - 2)\.dx$ \\ \t $= \Bigl\[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\Bigr\]_{0}^{2} + \Bigl\[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\Bigr\]_{2}^{3}$ \\ \t $= \Bigl(-\frac{8}{3}+2+4\Bigr) - 0 + \Bigl(9 - \frac{9}{2} - 6\Bigr) - \Bigl(\frac{8}{3}-2 -4\Bigr) = \frac{31}{6}.$

Hallaremos el área encerrado por $y = %20, \ y = %21, \ x = %24$ and $x = %25.$

Primero, determina si las gráficas cruzan estrictamente dentro del intervalo $[%24,%25]$. Si lo hacen, ingresa los valores de $x$ donde cruzan (excluyendo los punto extremos del intervalo), separados por comas si hay más que uno.

Para ver el cálculo detallado y completar el tutorial, debes primero contestar correctamente la pregunta anterior.

Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar "siguiente tutorial" ubicado a la izquierda.