Tutorial: Funciones y modelos cuadráticos

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Tutorial: Factorización de cuadráticos		Tutorial: Solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas

Practica tu álgebra Para todos estos tutorials sobre funciones no lineales, debes ser familiarizado con el álgebra de exponentes. Además, debes revisar como solucionar ecuaciones cuadráticas for factorización y la fórmula cuadrático.

Fundamentos

La relación entre dos cantidades suele ser mejor modelada por una curva en lugar de una línea recta. La función más simple cuya gráfica que no es una línea recta es una función cuadrática. Observa que, en el ejemplo que se mustra, las curvas no se cruzan durante el intervalo $[a, b]$. Nos centraremos en este caso primero.

Función cuadrática

Una función cuadrágtica de la variable $x$ es una función que puede escribirse en la forma

$f(x) = ax^2 + bx + c$ \gap[40] \t Forma función \\ $y = ax^2 + bx + c$ \gap[40] \t Forma ecuación

donde $a, b,$ y $c$ son números fijos (con $a \neq 0$).

Ejemplos

1.	$f(x) = 3x^2-2x+1$	$a = 3, b = -2, c = 1$
2.	$\displaystyle g(x) = -\frac{x^2}{2}$	$a = -\frac{1}{2}, b = c = 0$
3.	$g(x) = 3x+1$	No una función cuadrática porque $a = 0.$
4.	$\displaystyle h(x) = %11$

Gráfica de una función cuadrática

La gráfica de una función cuadrática es una parábola (ve la figura abajo).

Concavidad: Si es positivo el coeficiente $a$ de $x^2$, es cóncava hacia arriba (como en la figura debajo cuando pulsas "$a \gt 0$"). Si es negativo el coeficiente $a$, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo cuando pulsas "$a \lt 0$").

Vértice: El vértice de este parábola (pulsa el botón "Vertice" arriba) se ocurre al punto de la gráfica con coordenada $x$ dado por

#[Vertex][Vértice]#

Intersección en $y$: (Pulsa el botón "Interseccion $y$") Cruza el eje $y$ en

#[y-Intercept][Intersección en y]#

Intersección(es) en $x$ (Pulsa el botón "Intersecciones $x$") Cruza el eje $x$ en la(s) soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0$ (si hay soluciones). A veces podemos resolver esta ecuación por factorizar el lado izquierda. Si no factoriza, siempre podemos utilizar la fórmula cuadrática: doda por

#[x-Intercept(s)][Intersección(es) en x]#
Haz clic aquí para revisar la solución de ecuaciones cuadráticas.

Observa que, si el discriminante $b^2-4ac$ es negativo, entonces no hay intersecciones en $x$ ya que la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Simetría: Es simétrica respecto a la recta vertical por el vértice.

Ejemplo

%Let $f(x) = -3x^2-6x-3.$ %Therefore $a = -3, \ b = -6,\ c = -3.$

Concavidad: Ya que $a=-3$ es negativa, la gráfica es concava hacia abajo (pulsa el botón "a < 0" arriba para ver su forma).

Vértice: (pulsa el botón "Vertice" arriba) La coordenada-$x$ es

$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-6)}{2(-3)} = -1$

La coordenada-$y$ correspondiente es

$y = f(-1) = -3(-1)^2-6(-1)-3 = -3+6-3 = 0$.

Por lo tanto, el vétrice está en $(-1,0)$: Intersección en $y$: Cruza el eje $y$ en $y = c = -3$. Intersección(es) en $x$: Cruza el eje $x$ en la(s) soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0$:

$-3x^2-6x-3 = 0$ \\ $\implies -3(x^2+2x+1) = 0$ \\ $\implies -3(x+1)^2 = 0$ \gap[4] Afortunadamente, el lado izquierda factoriza. \\ $\implies x = -1$. \gap[4] Sólo una intersección en $x$, como ya se muestra en la gráfica.

Considera $f(x) = %15$.

Rellena las coordenadas de los siguientes puntos.
Ingresa ne para las coordenadas de cualquier punto que no existe. Si hay solo una intersección en $x,$ ingrésala como la intersección izquierda y ingresa ne para las coordenadas de la intersección derecha.

A continuación, utiliza esta información para obtener la gráfica correcta para $y = f(x)$: Arrastra el vértice y el segundo punto en la siguiente gráfica a su posición para ajustarla.

Aplicaciones

La población de monjas católicas romanas en los EEUU durante los últimos 25 años del siglo pasado puede ser modelada por

$P(t) = %30$ mil monjas $\qquad (5 \leq t \leq 25)$, donde $t = 0$ representa enero de 1970 (de modo que enero de 1975 está representado por $t = 5$).*
Sólo la versión no juego del modelo es fiable. Fuente para los datos originales: Centro de Investigación Aplicada en el Apostolado/New York Times, 16 de enero de 2000, p. A1.

Recuerda que el ingreso resultante de una o más transacciones es el total del pago recibido. (Ve el tutorial sobre funciones y modelos.) Así, si $q$ unidades de algún artículo se venden a $p$ dólares por unidad, el ingreso resultante de la venta es

La empresa Confiables Maestros Genuinos produce cuadros falsificados para la venta en conocida casas de subastas. La empresa estima que su ecuación de demanda es

$q = %40$ cuadros vendidos por mes a un precio de $p$ dólares cada uno. Tiene costos fijos de &D&%41 y costos variables de &D&%42 por cuadro.

a. Determina el ingreso, costo, y beneficio mensual de la empresa como funciones del precio $p$ por cuadro.

Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar "siguiente tutorial" ubicado a la izquierda.