Tutorial: Razones de cambio relacionadas

No me gusta este tutorial. ¡Llévame al tutorial más viejo (sin juego; sólo inglés)!

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Nota Para seguir este tutorial, debes ser familiarizado con la regla de la cadena para derivadas.

Razones de cambio

Comenzamos por recordar algunos hechos sobre la razón de cambio de una cantidad:

Calentamiento: Razón de cambio de Q

Si $Q$ es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la derivada $dQ/dt$ mide la rapidez con que $Q$ está aumentando o disminuyendo en el instante $t:$

Razón de cambio de $Q = \frac{dQ}{dt}$

Ejemplo

El volumen de combustible para cohetes en el motor principal de una nave espacial se da por

$t$ segundos después de su lanzamiento.

Problema de razones relacionadas

En un problema de razones relacionadas (o problema de tasas relacionadas) se nos da la razón de cambio de una o más cantidades, y tenemos que encontrar la razón de cambio de una o más cantidades relacionadas. Por ejemplo (como en el primer ejemplo en %4) se puede saber la razón a la que el radio de un círculo está creciendo, y queremos saber qué tan rápido la área está creciendo. %9:

El %21 de %23 está %33 a una razón de %34 %24/seg. ¿Qué tan rápido está %33 su %22 en el instante cuando su radio es %35 cm?

Solución paso por paso

A. El problema

1. Identificar las cantidades cambiantes.

2. Reformular el problema en términos de razones de cambio.

El dado probema es "El %21 de %23 está %33 a una razón de %34 %24/seg. ¿Qué tan rápido está %33 su %22 en el instante cuando su radio es %35 cm?"

3. Reescribir el problema utilizando la notación matemática.

B. La relación

1. Dibuja un diagrama, si apropriada, que muestra las candidates cambiantes.

Dibujo de las cantidades cambiantes (Haz clic en el dibujo correcto.)
Nota Cantidades cambiantes se representan por letras; cantidades no cambiantes se representa por números.

2. Escribe una ecuación que relaciona las cantidades cambiantes.

Ya has identificado las dos cantidades cambiantes en (A). Una ecuación que las relaciona es

3. Toma la derivada respecto al tiempo de la ecuación que relaciona las cantidades cambiantes..

Esto da la ecuación derivada, que relaciona las razones de cambio de las cantidades.

C. La solución

1. En la ecuación derivada, sustituir los valores dados de las cantidades y sus derivadas.

2. Despejar a la derivada que se busque. Esto te da la solución del problema..

La razón de cambio del %22 que se busca es, por lo tanto,

La escalera que cae

Las variantes del problema de "la escalera que cae" se encuentran en prácticamente cada libro de cálculo (ve, por ejemplo, Ejemplo 2 en %4). Aquí esta una de ellas:

Una escalera de %40 pies colocada descuidadamente se desliza por una pared de tal manera que %55 a una razón de %45 pies/seg. Tu gato siamés Papanutski está sentado %56 en línea directa con la base que se acerca%57. ¿Qué tan rápido está %58 cuando se golpea Papnutski?

A. El problema

1. Identificar las cantidades cambiantes.

2. Reformular el problema en términos de razones de cambio.

El dado problema es: Una escalera de %40 pies colocada descuidadamente se desliza por una pared de tal manera que %55 a una razón de %45 pies/seg. Tu gato siamés Papanutski está sentado %56 en línea directa con la base que se acerca%57. ¿Qué tan rápido está %58 cuando se golpea Papnutski?

3. Reescribir el problema utilizando la notación matemática.

B. La relación

1. Dibuja un diagrama, si apropriada, que muestra las candidates cambiantes.

Dibujo de las cantidades cambiantes (Haz clic en el dibujo correcto.)
Nota Cantidades cambiantes se representan por letras; cantidades no cambiantes se representa por números.

Una ecuación que relaciona las cantidades cambiantes es

3. Escribe la ecuación derivada..

C. La solución

1. En la ecuación derivada, sustituir los valores dados de las cantidades y sus derivadas.

2. Despejar a la derivada que se busque..

Para despejar a $%61$, primero necesitamos saber el valor de $%63$. Para esto, utiliza la ecuación que relaciona las cantidades cambiantes.

La razón de cambio que se busca es, por lo tanto,

Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar "siguiente tutorial" ubicado a la izquierda.