Tutorial: Límites: enfoque algebraico

Versión juego adaptivo

Este tutorial: Parte A: Continuidad desde el punto de vista gráfico

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(Se puede encontrar este tema en la Sección 10.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

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Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Concurso verdadero falso

Continuidades y discontinuidades

Consideremos otra vez la gráfica de la función $f$ que vimos en el %%geometriclimitstut:

Observa que la gráfica de $f$ tiene "roturas" en dos valores de $x$ en su dominia: una en $x = -1$, y la otra en $x = 0$. Decimos que $f$ es disontinua en tales valores de $x$. Decimos que $f$ es continua en valores de $x$ a los que no se rompe la gráfica, como en $x = 1$. Podemos expresar estas ideas puramente en términios de límites:

#[Continuous function][Función continua]#

Sea $x = a$ un punto en el dominio de la función $f.$ Entonces $f$ es %%contat $x = a$ si ambos de los siguientes son verdaderos:

1. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ %%exists.\t $\qquad$ \t Es decir, si existen los límites laterales derecho y izquierdo, entonces son iguales. \\ 2. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ \t \t El límite es igual al valor de la función en el punto $a$.

La función $f$ es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio. Si $f$ no es continua en un punto particular, $a$, en su dominio, decimos que $f$ es discontinua en $x = a$ o que $f$ tiene una discontinuidad en $x = a$.

#[Example][Ejemplo]#

#[In the graph we are studying:][En la gráfica que hemos sido estudiando:]#

%%Q #[Is $f$ continuous at $x = 1$?][¿Es continua $f$ en $x = 1$?]# %%A #[Check the definition:][Comprueba la definición:]#

1. $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ #[exists and equals][existe y es igual a]# 0.5. ✓
2. $f(1) = 0.5$ #[as well.][también.]#✓

%%Therefore, $f$ %%is %%contat $x = 1.$

%%Q #[Is $f$ continuous at $x = 0$?][¿Es continua $f$ en $x = 0$?]#
%%A #[Check the definition:][Comprueba la definición:]#

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ #[does not exist][no existe]#.5. ✗

%%Therefore, $f$ %%is %%notcontat $x = 0.$

%%Q #[Is $f$ continuous at $x = -1$?][¿Es continua $f$ en $x = -1$?]#
%%A #[Check the definition:][Comprueba la definición:]#

1. $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$ #[exists, and equals 1][existe, y es igual a 1]#. ✓
2. $f(-1) = 0, $ #[which does not equal the limit.][que no es igual al límite.]#✗

%%Therefore, $f$ %%is %%notcontat $x = -1.$

Discontinuidad versus singularidad

#[Q][P]# ¿Qué ocurre si una función $f$ no es definida en el punto aislado $x = a$. Podemos decir que $f$ es automáticamente discontinua ahí? Por ejemplo, $f(x) = 1/x$ es discontinua en $x = 0$, ¿correcto?
#[A][R]# Incorrecto. Continuidad y discontinuidad de una función son definidos solamente para puntos en el dominio de una función; una función no puede ser continua en un punto no en su dominio, y no puede ser discontinua ahí tampoco. Si una función no es definida en un punto aislado $x = a$, decimos que $f$ tiene una singularidad en $x = a$. Así, por ejemplo, $f(x) = 1/x$ tiene una singularidad en $x = 0$ pero no podemos decir que es discontinua ahí (a pesar de que rompe la gráfica en aquel punto). Está consciente que muchos autores usan el término "discontinuidad" para aplicar a puntos singulares también, pero eso contrario a la definición aceptada del término.

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 10.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza a la siguiente parte de este tutorial por pulsar el vínculo "Siguiente" ubicado a la izquierda.