Tutorial: Límites: enfoque algebraico

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Este tutorial: Parte B: Continuidad desde el punto de vista algebriaco

(Se puede encontrar este tema en la Sección 10.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Recursos

Evaluador y gráficador de funciones

Concurso verdadero falso

Continuidades y discontinuidades algebraicamente

Consideremos otra vez la la definición de continuidad que vimos en %%partAtut:

#[Continuous function][Función continua]#

Sea $x = a$ un punto en el dominio de la función $f.$ Entonces $f$ es %%contat $x = a$ si ambos de los siguientes son verdaderos:

1. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ %%exists.\t $\qquad$ \t Es decir, si existen los límites laterales derecho y izquierdo, entonces son iguales. \\ 2. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ \t \t El límite es igual al valor de la función en el punto $a$.

La función $f$ es continua en su dominio si es continua en cada punto de su dominio.

Note algo muy importante: el requisito de que $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ exista y sea igual a $f(a)$ nos recuerda un teorema que vimos en el %%limitalgebraicallytutA:

Teorema C: Límites de funciones de forma cerrada

Si $f$ es una función de forma cerrada y $f(a)$ está definida, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ existe y es igual a $f(a).$

#[In other words,][En otras palabras]#,

Corolario C: Continuidad de funciones de forma cerrada

Si $f$ es una función de forma cerrada, $a$ está en el dominio de $f$, entonces $f$ es continua en $a$. Por lo tanto, ¡las funciones de forma cerrada son continuas en sus dominios!

Ejemplos

$f(x) = \dfrac{2x^2+7x+3}{x + 3}$ es una función de forma cerrada y $2$ es en el dominio de $f$. Así, $f$ es continua en $2$
Ya que $-1$ es también en el dominio de $f$, $f$ es continua en $-1$ también.
$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x^2+7x+3}{x+3} = f(-1) -\frac{-2}{2} = -1$.
Sin embargo, $-3$ no está en el dominio de $f$, por lo que no podemos decir que $f$ es continuo en $-3$; de hecho es singular allí.

Funciones no en forma cerrada

Aún cuando no está especificada una función en forma cerrada pero en cambio es definida a trozos, podemos todavía analizar su continuidad algebraicamente (en %%partAtut consideramos la continuidad de tales funciones desde el punto de vista gráfico).

Sea $f$ la función dada por

$f(x) = \begin{cases} -1 & \text{ si } -4 \leq x \lt -1 \\ x & \text{ si } -1 \leq x \leq 1 \\ x^2-1 & \text { si } 1 \lt x \leq 2 \end{cases}$

Como en el tutorial anterior, vamos a considerar la continuidad de $f$ en varios puntos, pero esta vez puramente algebraicamente, sin aún mirar la gráfica. Si lo realmente quieres, puedes mirar la gráfica por hacer clic aquí, pero intenta no mirar.

#[Example][Ejemplo]# #[Determine whether the above function $f$ is continuous at following points:][Determina si o no la función $f$ de arriba es continua en los siguientes puntos:]#

a. $x = 0$ \gap[10] b. $x = -1$ \gap[10] c. $x = 1$ \gap[10] d. $x = 2$

#[Solution][>Solución]# Si o no $f$ es continua en $x = a$ depende del límite cuando $x \to a$, y ese límite depende solamente de los valores de $f$ cercanos a, y en ambos lados de $x = a$ (si $a$ no es un punto extremo del dominio). Es decir:

Si o no $f$ es continua en $x = a$ depende solamente en los valores de $f$ en alguno intervalo abierto alrededor de $x = a$.

a. $x = 0$ es en el intervalo $[-1, 1]$, en el que $f(x) = x$. Además, $x = 0$ es un punto interior de aquel intervalo (no un punto extremo), así que hay un intervalo alrededor de $x = 0$ (por ejemplo, $(-1/2, 1/2)$) en el que $f(x) = x$, una función de forma cerrada. Por lo tanto, $f$ es continua en $x = 0$.

De todas formas, muéstrame un dibujo.

b. $x = -1$ es también en el intervalo $[-1 , 1]$. Sin embargo, $x = -1$ no es un punto interior; cada intervalo abierto alrededor de $x = -1$ contiene puntos del primero intervalo $[-4, -1)$, y por lo tanto no podemos decir que $f$ es de forma cerrada en un intervalo abierto alrededor de $x = -1$. En cambio, calculamos los límites izquierdos y derechos por separado:

$\displaystyle \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-1) = -1 \qquad$ \t #[because][porque]# $f(x) = -1$ #[for][para]# $x \lt -1$ \\ $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x = -1$ \t #[because][porque]# $f(x) = x$ #[for][para]# $x \gt -1$

Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$ existe y es igual a $-1$. También, $f(-1) = -1$ por la formula. Ya que existe el límite y es igual a $f(-1)$, la función $f$ es continua en $x = -1$.

De todas formas, muéstrame un dibujo.

c. $x = -1$ es el otro punto no-interior de $[-1 , 1]$; cada intervalo abierto alrededor de $x = 1$ contiene puntos del tercero intervalo $(1, 2]$, y otra vez no podemos decir que $f$ es de forma cerrada en un intervalo abierto alrededor de $x = 1$, y debemos otra vez calcular los límites izquierdos y derechos:

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$ \t #[because][porque]# $f(x) = x$ #[for][para]# $x \lt 1$ \\ $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 - 1 = 0 \qquad$ \t #[because][porque]# $f(x) = x^2 - 1$ #[for][para]# $x \gt 1$

Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ no existe, y por lo tanto la función $f$ es discontinua en $x = 1$.

De todas formas, muéstrame un dibujo.

d. Aunque $x = 2$ no es un punto interior de su intervalo $(1, 2]$, es el punto extremo derecho del dominio de $f$, y así el límite es igual al el límite izquierda:

$\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 - 1 = 3 = f(2)$.

Por lo tanto, $f$ es coninua en 2.

De todas formas, muéstrame un dibujo.

Singularidades removibles y esenciales

En %%limitalgebraicallytutA consideramos el límite

$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2x^2+7x+3}{x+3}$.

#[using a simplification that removed the singularity at $x = -3$][usando una simplificación que eliminó la singularidad a $x = -3$]#:

$\dfrac{2x^2+7x+3}{x+3}$ \t ${}= \dfrac{(2x+1)\color{blue}{(x+3)}}{\color{blue}{x+3}}$ \t #[Singular at][Singular en]# $x=-3$ \\ \t ${}= 2x+1 \quad (x \ne -3)$ \t #[Not singular at][Nosingular en]# $x=-3$

#[We changed the function to a new one that is continuous at $x = -3$, and no longer singular there. For this reason, we refer to the original singularity as removable.][Cambiamos la función a una nueva que e continua en $x=-3$, y ya no es singular allí. Por esta razón, nos referimos a la singularidad original como removible.]#

$\qquad \quad f(x) = \dfrac{2x^2+7x+3}{x+3}$
$\qquad \quad$ #[Singular at][Singular en]# $x = -3$

$\qquad \qquad f(x) = 2x+1$
$\qquad \quad$#[Continuous at][Continua en]# $x = -3$

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 10.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza a la siguiente parte de este tutorial por pulsar el vínculo "Siguiente" ubicado a la izquierda.

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