Tutorial: Factorización de expresiones algebraicas

Tutorial: Usando identidades de los exponentes

Ir a Parte A: Multiplicación de expresiones algebraicas

Este tutorial: Parte B: Factorización de expresiones algebraicas: Sacando factores comunes

Ir a Parte C: Factorización de cuadráticos

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

%%Note Es necesario entender cómo multiplicar expresiones algebraicas utilizando la ley distributiva antes de empezar a trabajar en este tutorial. Si sientes que necesitas revisar ese material, vuelve a la Parte A por hacer clic en el enlace de arriba.

Factores

Factorizar una expresión significa escribir esa expresión como un producto de otras expresiones, llamadas sus factores. Por ejemplo,

$12 = \color{blue}{(4)} \ \color{indianred}{(3)},$ así $\ \color{blue}{4}\ $ %%and $\ \color{indianred}{3}$ son factores de $12.$ \\ $12 = \color{blue}{(12)} \ \color{indianred}{(1)},$ así $\ \color{blue}{12}\ $ %%and $\ \color{indianred}{1}$ son también factores de $12.$ \t \\ $2x = \color{blue}{(2)} \ \color{indianred}{(x)},$ así $\ \color{blue}{2}\ $ %%and $\ \color{indianred}{x}$ son factores de $2x.$ \t \\ $2x^2 = \color{blue}{(2)} \ \color{indianred}{(x^2)},$ así $\ \color{blue}{2}\ $ %%and $\ \color{indianred}{x^2}$ son factores de $2x^2.$ \\ $2x^2 = \color{blue}{(-2x)} \ \color{indianred}{(-x)},$ así $\ \color{blue}{-2x}\ $ %%and $\ \color{indianred}{-x}$ son también factores de $2x^2.$

La identificación de factores

%%Q: ¿Podemos decir la siguiente:

$1 = \color{blue}{(x)} \ \color{indianred}{\left(\frac{1}{x}\right)},$ así $\ \color{blue}{x}\ $ %%and $\ \color{indianred}{\frac{1}{x}}$ son factores de $1?$

%%A: La respuesta depende del contexto. En el contexto de las expresiones que pueden involucar fracciones, la respuesta sería "sí", pero en el resto de este tutorial consideramos sólo las expresiones que no involucan fracciones, por lo que la respuesta es "no".

%%Q: ¿Qué tal de esto:

$x = \color{blue}{(x^{3/2})} \ \color{indianred}{x^{-1/2}},$ así $\ \color{blue}{x^{3/2}}\ $ %%and $\ \color{indianred}{x^{-1/2}}$ son factores de $x?$

%%A: Otra vez, no: $x^{-1/2}$ es realmente una fracción disfrazada:

$x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}},$ y por lo tanto, ya que aquí consideramos solo expresiones que no involucan fracciones—incluso disfrazadas a través de exponentes negativos—la respuesta es "no".

Los factores comunes

Podemos pensar en la factorización como la aplicación de la ley distributiva en sentido inverso. Por ejemplo,

$2x^2 + x = x(2x + 1),$ que puedes comprobar por aplicar la ley distributiva al lado derecho. La primera técnica de factorización que miramos es encontrar un factor común: un término que ocurre como un factor en cada una de las expresiones que se suma o se resta. Por ejemplo, $x$ es un factor común en $2x^2 + x,$ ya que es un factor de ambos $2x^2$ y $x.$ Por otro lado, $x^2$ no es un factor común, ya que no es un factor del segundo término, $x.$

Sacar un factor común

Una vez que hemos hallado un factor común, en una suma o resta, podemos "sacarlo afuera" por determinar el otro factor en cada uno de los sumandos (como hicimos en el primero concurso de este tutorial):

En símbolos: Ya que $a$ is a common factor in $ab \pm ac$, podemos sacar el factor común $a:$

$\color{#c1026f}{a}\color{#026fc1}{b} \pm \color{#c1026f}{a}\color{#0ea05e}{c} = \color{#c1026f}{a}(\color{#026fc1}{b} \pm \color{#0ea05e}{c}).$ Vídeo sugerido para este tema: Video por Danny Perich

%%Examples

Ya que $x$ is a common factor in $2x^2 + x$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:

$2x^2 + x$ \t $\ = \ \color{#c1026f}{(x)}\color{#026fc1}{(2x)} + \color{#c1026f}{(x)}\color{#0ea05e}{(1)}$ \\ \t $\ = \ \color{#c1026f}{x}(\color{#026fc1}{2x} + \color{#0ea05e}{1})$

#[Because][Ya que]# $2y^2$ is a common factor in $6y^4 + 2y^3 - 4y^2$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:

$6y^4 + 2y^3 - 4y^2$ \t $\ = \ \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#026fc1}{(y^2)} + \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#0ea05e}{(y)} - \color{#c1026f}{(2y^2)}\color{#a05eae}{(2)}$ \\ \t $\ = \ \color{#c1026f}{2y^2}(\color{#026fc1}{y^2} + \color{#0ea05e}{y} - \color{#a05eae}{2})$

#[In the remaining examples we will leave out the middle step (do that mentally!)][En los ejemplos que quedan vamos a omitir el paso intermedio (¡hazlo mentalmente!)]#

#[Because][Ya que]# $x$ is a common factor in $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$, #[we can factor it out][podemos sacarlo afuera]#:

$2x^2y+xy^2-x^2y^2 \ = \ x(2xy+6y^2-6xy^2)$

#[However, $2xy$ is another common factor in $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$; it is the greatest common factor:

Its coefficient is positive.
It cannot be multiplied by anything except $-1$ and still remain a factor.

So, we can also write][Sin embargo, $xy$ es un otro factor común en $2x^2y+6xy^2-6x^2y^2$; es el factor común mayor:

Su coeficiente es positivo.
No se puede multiplicar por nada excepto $-1$ y todavía seguir siendo un factor.

Así, podemos también escribir]#

$2x^2y+6xy^2-6x^2y^2 \ = \ 2xy(x+3y-3xy).$ \t \gap[40] #[Taking out the greatest common factor][Sacando el factor común mayor]#

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.