Tutorial: Multiplicación de expresiones algebraicas

Tutorial: Multiplicación y factorización de expresiones algebraicas

Este tutorial: Parte A: Multiplicación de expresiones algebraicas

Ir a Parte B: Factorización de expresiones algebraicas: Sacando factores comunes

Ir a Parte C: Factorización de cuadráticos

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

%%Note eres feliz con la multiplicación de expresiones algebraicas y quieres estudiar factorización, ve a la Parte B haciendo clic en su enlace de arriba.

Cálculos de un solo paso

Una de las herramientas matemáticas más importantes para multiplicar expresiones algebraicas es la ley distributiva para los números reales:

#[Distributive law for real numbers][Ley distributiva para los números reales]#

#[If $a,$ $b,$ and $c$ are any real numbers, then:][Si $a, b,$ y $c$ son cualquieras números reales, entonces:]#

#[Law][Ley]#	Ejemplos
$a(b \pm c) = ab \pm ac$ #[Left distributive law][Ley distributiva izquierda]#	$x(x+1)$\t = $x(x) + x(1) $ \\ \t ${}=x^2 + x$ $x^3(y-x)$\t ${}= x^3(y) - x^3(x) $ \\ \t ${}=x^3y - x^4$ $-7(x+y+z)$ ${}= (-7)x + (-7)y + (-7)z$ * ${}=-7x - 7y - 7z$ $\dfrac{4x^2}{3y}\left(\dfrac{xy^2}{2z} - \dfrac{y}{x}\right)$ ${}= \dfrac{4x^2}{3y}\left(\dfrac{xy^2}{2z}\right) - \dfrac{4x^2}{3y}\left(\dfrac{y}{x}\right)$ ${}= \dfrac{4x^2\cdot xy^2}{3y\cdot 2z} - \dfrac{4x^2\cdot y}{3y\cdot x}$ #[Rule for multiplying fractions][Relga para multiplicar fracciones]# ${}= \dfrac{4x^3y^2}{6yz} - \dfrac{4x^2y}{3xy}$ #[Rules for exponents][Relgas para exponentes]# ${}= \dfrac{2x^3y}{3z} - \dfrac{4x}{3}$
$(a \pm b)c = ac \pm bc$ #[Right distributive law][Ley distributiva derecha]#	$(x+1)y$\t ${}=x(y) + 1(y) $ \\ \t ${}=xy + y$ $(1-3x+x^2)x$ ${}=1(x) - 3x(x) + x^2(x)$ ${}=x - 3x^2 + x^3$ $\left(\dfrac{xy^2}{2z} + \dfrac{2y}{3x}\right)\dfrac{z}{xy^2}$ ${}= \dfrac{xy^2}{2z}\left(\dfrac{z}{xy^2}\right) + \dfrac{2y}{3x}\left(\dfrac{z}{xy^2}\right)$ ${}= \dfrac{xy^2\cdot z}{2z\cdot xy^2} + \dfrac{2y\cdot z}{3x\cdot xy^2}$ #[Rule for multiplying fractions][Relga para multiplicar fracciones]# ${}= \dfrac{xy^2z}{2xy^2z} + \dfrac{2yz}{3x^2y^2}$ #[Rules for exponents][Relgas para exponentes]# ${}= \dfrac{1}{2} + \dfrac{2z}{3x^2y}$

Vídeo sugerido para este tema: Video por Ruben Sebastian

* #[We can justify the use of the distributive law with three (or more) summands in the parentheses by arguing as follows:][ Podemos justificar el uso de la ley distributiva con tres (o más) sumandos en los paréntesis como sigue:]#

$a(b+c+d)$ \t ${}= a(b+[c+d])\quad$ \t #[Think of $b+c+d$ as ][Piensa en $b+c+d$ como]# $b+[c+d].$ \\ \t ${}= ab+a[c+d]$ \t #[Distributive law for two summands][Ley distributiva para tres sumandos]# \\ \t ${}= ab+ac+ac$ \t #[Distributive law for two summands again][Ley distributiva para tres sumandos otra vez]#

Cálculos de múltiples pasos

Si lo que estamos distribuyendo es en sí una suma o diferencia, entonces es necesario aplicar la ley distributiva más de una vez:

Ejemplos

$\color{crimson}{(2x+1)}(3x-2)$ \t ${}=\color{crimson}{(2x+1)}(3x)\ \ + \ \ \color{crimson}{(2x+1)}(-2)$ \gap[40] \t #[Distribute the ][Distribuya la]# $\color{crimson}{(2x+1)}$ \\ \t ${}=6x^2 + 3x \ \ - \ 4x - 2$ \t #[Apply the distributive law to each summand.][Aplica la ley distributiva a cada sumando.]# \\ \t ${}=6x^2 - x - 2$ \t #[Simplify (combine the $3x$ and $-4x$).][Simplifica (combina la $3x$ y la $-4x$).]# \\ \\ $\color{crimson}{(1 - y)}(1 + y - y^2)$ \t ${}=\color{crimson}{(1 - y)}(1)\ \ + \ \ \color{crimson}{(1 - y)}(y)\ \ - \ \ \color{crimson}{(1 - y)}(y^2)$ \t #[Distribute the ][Distribuya la]# $\color{crimson}{(1 - y)}$ \\ \t ${}=1 - y\ \ + \ \ y - y^2\ \ - \ \ (y^2 - y)$ \t #[Apply the distributive law to each summand.][Aplica la ley distributiva a cada sumando.]# \\ \t ${}=1 - y \ \ + \ \ y - y^2\ \ - \ \ y^2 + y$ \t #[Distribute the minus sign.][Distribuya el signo menos.]# \\ \t ${}=1 + y - 2y^2$ \t #[Simplify.][Simplifica.]#

Método PEXINUL

Hay una forma más rápido para desarrollar expresiones como la primera y segunda de arriba, llamada el método "PEXINUL".

%%FOIL (También se llama FOIL, que es el nombre inglés)

Se utiliz el método PEXINUL desarrollar productos de la forma

$(a + b)(c + d)$

#[as follows:][como sigue:]#

\\ \t #[F][P]# \t #[First][Primeros]# \t #[Multiply the first terms.][Multiplica los términos primeros]# \t $\color{#aaaaaa}{(\bold{\color{#c1026f}{a}} + b)(\bold{\color{#c1026f}{c}} + d)}$ \t $\color{#c1026f}{a \times c = ac}$ \\ \t #[O][EX]# \t #[Outer][EXternos]# \t #[Multiply the outer terms.][Multiplica los términos externos]# \t $\color{#aaaaaa}{(\bold{\color{#0ea05e}{a}} + b)(c + \bold{\color{#0ea05e}{d}})}$ \t $\color{#0ea05e}{a \times d = ad}$ \\ \t #[I][IN]# \t #[Inner][INternos]# \t #[Multiply the inner terms.][Multiplica los términos internos]# \t $\color{#aaaaaa}{(a + \bold{\color{#026fc1}{b}})(\bold{\color{#026fc1}{c}} + d)}$ \t $\color{#026fc1}{b \times c = bc}$ \\ \t #[L][UL]# \t #[Last][ÚLtimos]# \t #[Multiply the last terms.][Multiplica los términos últimos]# \t $\color{#aaaaaa}{(a + \bold{\color{#de6c00}{b}})(c + \bold{\color{#de6c00}{d}})}$ \t $\color{#de6c00}{b \times d = bd}$

A continuación, súmalos:

#[Result][Resultado]# \gap[10] \t $(a+b)(c+d) = \color{#c1026f}{ac} + \color{#0ea05e}{ad} + \color{#026fc1}{bc} + \color{#de6c00}{bd}$ \t #[F][P]# #[O][EX]# #[I][IN]# #[L][UL]#

Vídeo sugerido para este tema: Video por Salón Matemáticas

Ejemplos

$(x + 1)(3x - 2)$ \t ${}=\color{#c1026f}{x \cdot (3x)} + \color{#0ea05e}{x \cdot (-2)} + \color{#026fc1}{1 \cdot (3x)} + \color{#de6c00}{1 \cdot (-2)}$ \t \gap[20] PEXINUL \\ \t ${}=3x^2 -2x + 3x -2$ \\ \t ${}=3x^2 +x -2$ \\ \t \\ $(x - 3)(x + 3)$ \t ${}=\color{#c1026f}{x \cdot (x)} + \color{#0ea05e}{x \cdot 3} + \color{#026fc1}{(-3) \cdot x} + \color{#de6c00}{(-3) \cdot 3}$ \t \gap[20] PEXINUL \\ \t ${}=x^2 + 3x - 3x - 9$ \\ \t ${}=x^2 - 9$

Casos especiales

El segundo ejemplo de arriba, y algunos que rellenaste, son suficientemente importantes como para justificar una mención especial.

#[Some identities][Algunas identidades]#

#[If $a$ and $b$ are any real numbers, then:][Si $a$ y $b$ son cualquieras números reales, entonces:]#

#[Identity][Identidad]#	Ejemplos
#[Difference of two squares][Diferencia de dos cuadrados]#: $(a + b)(a - b)$ \t ${}=a^2-b^2$ \\ $(a - b)(a + b)$ \t ${}=a^2-b^2$ (#[See the second example of %%FOIL above.][Ve el segundo ejemplo de %%FOIL de arriba.]#)	$(x-3)(x+3)$ \t ${}=x^2 - 3^2$ \\ \t ${}= x^2 - 9$ $(3x + 4y)(3x - 4y)$ \t ${}=(3x)^2 - (4y)^2$ \\ \t ${}=9x^2 - 16y^2$
#[Square of a sum or difference][Cuadrado de una suma o diferencia]#: $(a + b)^2$ \t ${}=a^2 + 2ab + b^2$ \\ $(a - b)^2$ \t ${}=a^2 - 2ab + b^2$ (#[See the second question above.][Ve la segunda pregunta de arriba.]#)	$(x + 3)^2$ \t ${}=x^2 + 2(x)(3) + 3^2$ \\ \t ${}=x^2 + 6x + 9$ \\ $(3x + 4y)^2$ \t ${}= (3x)^2 + 2(3x)(4y) + (4y)^2$ \\ \t ${}= 9x^2 + 24xy + 16y^2$ \\ $(3x - 4y)^2$ \t ${}=(3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2$ \\ \t ${}=9x^2 - 24xy + 16y^2$

Vídeo sugerido para este tema: Video por Algebra Para Todos

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.