Tutorial: Funciones y modelos cuadráticos
(Se puede encontrar este tema en a Sección 2.1 del libro Cálculo aplicado o la Sección 2.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado) No me gusta este tutorial. ¡Llévame al tutorial aún más viejo (sin sesiones de práctica adaptiva)!Recursos
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Tutorial:
Fundamentos
La relación entre dos cantidades suele ser mejor modelada por una curva en lugar de una línea recta. La función más simple cuya gráfica que no es una línea recta es una función cuadrática.
Función cuadrática
Una función cuadrágtica de la variable $x$ es una función que puede escribirse en la forma
Una función cuadrágtica de la variable $x$ es una función que puede escribirse en la forma
$f(x) = ax^2 + bx + c$ \gap[40] \t Forma función
\\ $y = ax^2 + bx + c$ \gap[40] \t Forma ecuación
donde $a, b,$ y $c$ son números fijos (con $a \neq 0$).
%%Examples
#[The following matrices are reduced:][Las siguientes matrices son redicidas:]#
#[The following matrices are reduced:][Las siguientes matrices son redicidas:]#
1. \t $\displaystyle f(x) = 3x^2-2x+1$ \t $a = 3, b = -2, c = 1$
\\ 2. \t $\displaystyle g(x) = -\frac{x^2}{2}$ \t $\displaystyle a = -\frac{1}{2}, b = c = 0$
\\ 3. \t $\displaystyle g(x) = 3x+1$ \t No una función cuadrática porque $a = 0.$
%%YourTurn
Gráfica de una función cuadrática
La gráfica de una función cuadrática es una parábola (ve la figura abajo).
Concavidad: Si es positivo el coeficiente $a$ de $x^2$, es cóncava hacia arriba (como en la figura debajo cuando pulsas "$a \gt 0$"). Si es negativo el coeficiente $a$, es cóncava hacia abajo (como en la figura debajo cuando pulsas "$a \lt 0$").
Vértice: (Pulsa el botón "Vertice" arriba):vértice de este parábola se ocurre al punto de la gráfica con coordenada $x$ dado por
- $\displaystyle x = -\frac{b}{2a} \qquad $ #[Vertex][Vértice]#
- $y = c \qquad $ #[y-Intercept][Intersección en y]#
- $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \qquad $ #[x-Intercept(s)][Intersección(es) en x]#
Ejemplo
%%Let $f(x) = -3x^2-6x-3.$ %%Therefore $a = -3, \ b = -6,\ c = -3.$
Concavidad: Ya que $a=-3$ es negativa, la gráfica es concava hacia abajo (pulsa el botón "a < 0" arriba para ver su forma).
Vértice: (pulsa el botón "Vertice" arriba) La coordenada-$x$ es
Intersección en $y$: Cruza el eje $y$ en $y = c = -3$.
Intersección(es) en $x$: Cruza el eje $x$ en la(s) soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0$:
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{(-6)}{2(-3)} = -1$
La coordenada-$y$ correspondiente es
$y = f(-1) = -3(-1)^2-6(-1)-3 = -3+6-3 = 0$.
Por lo tanto, el vétrice está en $(-1,0)$:
$-3x^2-6x-3 = 0$
\\ $\implies -3(x^2+2x+1) = 0$
\\ $\implies -3(x+1)^2 = 0$ \gap[4] Afortunadamente, el lado izquierda factoriza.
\\ $\implies x = -1$. \gap[4] Sólo una intersección en $x$, como ya se muestra en la gráfica.
Aplicaciones
Recuerda que el ingreso resultante de una o más transacciones es el total del pago recibido. (Ve el tutorial sobre funciones y modelos.) Así, si $q$ unidades de algún artículo se venden a $p$ dólares por unidad, el ingreso resultante de la venta es
-
Ingreso = Precio $\times$ Cantidad
$R = pq$.
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 2.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.
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