Tutorial: Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Versión juego adaptivo

Este tutorial: Parte B: Resolver por eliminación

(Se puede encontrar este tema en a Sección 3.1 del libro Matemáticas finitas o la Sección 4.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

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#[Solving systems with two unknowns by elimination][Solucionar sistemas con dos incógnitas por eliminación]#

%%Q ¿Realmente necesitamos otro método para solucionar un sistema de ecuaciones lineales?
%%A El problema con el enfoque gráfico es que sólo se da soluciones aproximadas; localizar el punto exacto de intersección de dos rectas requeriría una precisión perfecta, lo cual es imposible en la práctica.

#[The method of elimination is an algebraic procedure to obtain the exact solution(s) of a system of equations in two unknowns by manipulating the equations to eliminate one of the variables ($x$ or $y$).][El método de eliminación es un procedimiento algebraico para obtener la solución exacta de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas por manipular las ecuaciones para eliminar una de las variables ($x$ o $y$).]#

Nos centraremos principalmente en los casos donde todos los coeficientes son números racionales (que incluyen decimales finitos o recurrentes), ya que dichos sistemas nos reducen a trabajar con coeficientes enteros. Al final de este tutorial veremos cómo funciona la solución por eliminación en los casos donde no todos los coeficientes son racionales.

Solución de sistemas con coeficientes racionales

#[Step 1: Get rid of fractions and decimals.][Paso 1: Deshágate de fracciones y decimales.]#
%%Example

\t !r!$\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}y$ \t $=$ \t $-\frac{4}{3}$ \\ \t !r!$x + 1.5y$ \t $=$ \t $2.5$

#[Ugh!][¡Uf!]#

#[You can get rid of the fractions in the first equation by multiplying by a common multiple of the denominators like 6 in this case, and you can get rid of the decimals in the second equation by multiplying by 2 in this case:][Puedes deshacerte de las fracciones en la primera ecuación multiplicando por un múltiplo común de los denominadores como 6 en este caso, y puedes deshacerte de los decimales en la segunda ecuación multiplicando por 2 en este caso:]#

#[Solving by elimination][Solucionar por eliminación]#

#[To eliminate an unknown means to obtain an equation in which that unknown does not occur. To eliminate an unknown that occurs in both equations, multiply one or both equations by suitable nonzero constant (if necessary) so that adding the resulting equations cancels out ("eliminates") that unknown. Then solve that equation for the remaining variable. Repeat by eliminating the other variable.][Eliminar un desconocido significa obtener una ecuación en la que no ocurre ese desconocido. Para eliminar un desconocido que ocurre en ambas ecuaciones, multiplica una o ambas ecuaciones por constantes adecuadas distintas de cero (si sea necesario) tal que la adición de las ecuaciones resultantes anula ("elimina") aquella incógnita. Luego resuelve la ecuación para la variable restante. Repite por eliminar la otra incógnita.]#

%%Example
#[System][Sistema]#:

$x - 2y$ \t ${}= -8$ \\ $2x + 3y$ \t ${}=5$

#[Solving by elimination][Solucionar por eliminación]# #[We eliminate $x$. Notice that just adding the equations does not eliminate the $x,$ but results in $3x + y = -3.$ However, if we multiply the first equation by $-2$ we get an equivalent system:][Eliminamos la $x.$ Observa que simplemente sumando las ecuaciones elimina los $x,$ pero resulta en $3x + y = -3.$ Sin embargo, si multiplicamos la primera ecuación por $-2$ obtenemos un sistema equivalente:]#

$-2x + 4y$ \t ${}= 16$ \t $\color{blue}{(-2)}(x - 2y) = \color{blue}{(-2)}(-8)$ \\ $2x + 3y$ \t ${}=5$

#[Now if we add them, the $x$s cancel, and we get:][Ahora si las sumamos, las $x$ se cancelan y obtenemos:]#

$7y = 21$

#[So][Por lo tanto]#

$y = \dfrac{21}{7} = 3.$ \t $\qquad$ #[We have solved for $y.$][Hemos despeja a $y.$]#

#[Now that we know the value of $y,$ we could obtain $x$ by substituting this value in one of the original equations, but instead, just for the fun of it, let's eliminate $y$ starting again with the original system:][Ahora que sabemos que el valor de $y,$ podríamos obtener $x$ sustituyendo este valor en una de las ecuaciones originales, pero en cambio, por el gusto de hacerlo, vamos a eliminar $y$ comenzando de nuevo con el sistema original:]#

#[Original system][Sistema original]#:

$x - 2y$ \t ${}= -8$ \\ $2x + 3y$ \t ${}=5$

#[To eliminate $y,$ we want to make the coefficients of $y$ the same numerically but with opposite sign. We can accomplish this without using fractions by multiplying the first equation by $3$ and the second by $2$:][Para eliminar $y,$ queremos que los coeficientes de $y$ sea el mismo numéricamente pero con signos opuestos. Podemos lograr esto sin utilizar fracciones multiplicando la primera ecuación por $3$ y el segundo por $2.$]#

$3x -6y$ \t ${}=-24$ \t $\color{blue}{(3)}(x - 2y) = \color{blue}{(3)}(-8)$ \\ $4x + 6y$ \t ${}= 10$ \t $\color{blue}{(2)}(2x + 3y) = \color{blue}{(2)}(5)$

#[Now if we add them, the $y$s cancel, and we get:][Ahora si las sumamos, las $y$ se cancelan y obtenemos:]#

$7x = -14$

#[So][Por lo tanto]#

$x = \dfrac{-14}{7} = -2.$

%%Solution

$(x, y) = (-2, 3)$

#[Redundant and inconsistent systems][Systemas redundantes y inconsistentes]#

#[Next, we look at what happens in the elimination method when we encounter redundant and inconsistent systems:][A continuación, nos fijamos en lo que sucede en el método de eliminación cuando nos encontramos con sistemas redundantes e inconsistentes:]#

#[Solving by elimination in redundant or inconsistent systems][Resolución por eliminación en sistemas redundantes o inconsistentes]#

When the system has a unique solution, eliminating one of the variables will result in an equation in the other variable, for which you can then solve. But sometimes, eliminating one of the variables causes both of them to be eliminated, indicating that the system is either redundant or inconsistent.][Eliminar un desconocido significa obtener una ecuación en la que no ocurre ese desconocido. Para eliminar un desconocido que ocurre en ambas ecuaciones, multiplica una o ambas ecuaciones por constantes adecuadas distintas de cero (si sea necesario) tal que la adición de las ecuaciones resultantes anula ("elimina") aquella incógnita.

Cuando el sistema tiene una solución única, eliminar una de las variables resultará en una ecuación en la otra variable, que luego se puede resolver. Sin embargo, a veces, eliminar una de las variables provoca la eliminación de ambas, lo que indica que el sistema es redundante o inconsistente.]#

#[Examples][Ejemplos]#

	#[Redundant system][Sistema redundante]#:	\t !r!$x - 2y$ \t $=$ \t $-8$ \\ \t !r!$-2x + 4y$ \t $=$ \t $16$
	#[We eliminate $x$. Notice that just adding the equations does not eliminate the $x,$ but results in $-x + 2y = 8.$ However, if we multiply the first equation by $2$ we get an equivalent system:][Eliminamos la $x.$ Observa que simplemente sumando las ecuaciones elimina los $x,$ pero resulta en $-x + 2y = 8.$ Sin embargo, si multiplicamos la primera ecuación por $2$ obtenemos un sistema equivalente:]#
		\t !r!$2x - 4y$ \t $=$ \t $-16$ \t $\color{blue}{(2)}(x - 2y) = \color{blue}{(2)}(-8)$ \\ \t !r!$-2x + 4y$ \t $=$ \t $5$
	#[Now if we add them, the $x$s and also the $y$s cancel, and we get the following rather uninteresting equation:][Ahora si las sumamos, las $x$ y tambi&ecute;n las $y$ se cancelan y obtenemos la siguiente , bastante poco interesante ecuación:]#
		$0 = 0$

La razón por la que obtenemos $0 = $ es que las dos ecuaciones expresan lo mismo (una es simplemente el negativo de la otra; graficarlos da como resultado la misma línea). En otras palabras, el sistema es redundante y, en realidad, solo tenemos la información de una ecuación. También sabemos que un sistema que consta de una sola ecuación tiene infinitas soluciones: podemos, por ejemplo, elegir $x$ como cualquier número y resolver $y$ en cualquiera de las dos ecuaciones, obteniendo $y = (x+8)/2$.

Esto nos da una solución general de la forma

$\left(x, \dfrac{x+8}{2}\right)$; $x$ #[arbitrary][arbitrario]#. \t \gap[40]

#[General solution (free variable x)][Solción general (variable libre x)]#

(Abre una sesión de práctica y, en Opciones de práctica, ve a "Encontrar soluciones particulares y generales de una ecuación lineal").

O bien, podríamos elegir $y$ como arbitrario y resolver $x$, obteniendo $x = 2y - 8$, y, por lo tanto, otra forma de la solución general:

$(2y-8, y)$; $y$ #[arbitrary][arbitrario]#. \t \gap[40]

#[General solution (free variable y)][Solción general (variable libre y)]#

#[However, it sometimes also happens that we don\'t get $0 = 0$. For instance, suppose our original system was the following:][Sin embargo, a veces también sucede que no obtenemos $0 = 0$. Por ejemplo, supongamos que nuestro sistema original era el siguiente:]#

	#[Inconsistent system][Sistema inconsistente]#:	\t !r!$2x - 4y$ \t $=$ \t $-2$ \\ \t !r!$-3x + 6y$ \t $=$ \t $-1$
	#[To eliminate $x,$ we can accomplish this by multiplying the first equation by $3$ and the second by $2$:][Para eliminar $x$, podemos multiplicar la primera ecuación por $3$ y la segunda por $2$:]#
		\t !r!$6x - 12y$ \t $=$ \t $-6$ \\ \t !r!$-6x + 12y$ \t $=$ \t $-2$
	#[Now if we add them, the $y$s cancel, and we get:][Ahora si las sumamos, las $y$ se cancelan y obtenemos:]#
		$0 = -8.$

#[But this is absurd! What this is telling us is that there can be no real numbers $x$ and $y$ making both equations true, as assuming there were would lead to the contradiction $0 = -8$. In other words, the given system has no solution at all. Geometrically, if you plot both equations, the resuting two lines are parallel and hence do not intersect.][¡Pero esto es absurdo! Lo que nos dice es que no puede haber números reales $x$ e $y$ que hagan que ambas ecuaciones sean verdaderas, ya que asumir que hubieras verdaderas nos lleva a la contradicción $0 = -8$. En otras palabras, el sistema dado no tiene solución. Geométricamente, si se trazan ambas ecuaciones, las dos rectas resultantes son paralelas y, por lo tanto, no se intersecan.]#

%%Q #[What happens when one of the coefficients is zero, as in, for instance,][ ¿Qué sucede cuando uno de los coeficientes es cero, como en, por ejemplo,]#

$3x - y$ \t ${}= 2$ \\ $5y$ \t ${}= 6$?

%%A #[Nothing different, really. The second equation has $x$ already eliminated, and says that $y = 6/5.$ We can then obtain $x$ by substituting this value of $y$ in the first equation, or by eliminating $y$ in the usual way: Multiply the first equation by 5 and then add.][Nada diferente, de verdad. La segunda ecuación tiene $x$ ya eliminado, y nos dice que $y = 6/5.$ A continuación, podemos obtener $x$ sustituyendo este valor de $y$ en la primera ecuación, o por eliminar $y$ de la forma habitual: multiplicar la primera ecuación por 5 y luego sumar.]#

Ahora prueba algunos de los ejercicios en a Sección 3.1 del libro Matemáticas finitas o la Sección 4.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al parte B de este tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.

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