Una antiderivada de una función f es una función F tal que F'= f.

Antiderivada en palabras:

1.	Una antiderivada de 4x3 es x4     porque la derivada de x4 es 4x3
2.	Una otra antiderivada de 4x3 es x4 + 7     porque la derivada de x4 + 7 es también 4x3
3.	Una antiderivada de 2x es x2 + 12.     porque la derivada de x2+12 es 2x

4.	Una antiderivada de 5 es
5.	Una antiderivada de x es

La expresión

f(x)

dx

se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x," y representa el conjuncto de todas las antiderivadas de f.

Entonces, ∫ f(x) dx es una colección de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. (La expresión dx significa "respecto a x.")

1.		4x3 dx  =	x4 + C	C es una constante arbitraria
2.		2x dx  =	x2 + C

La constante de integración, C, nos recuerda que podemos susituir cualquier numero para C y obtener una otra antiderivada.

3.		5	dx	=
4.		x	dx	=

	xn dx	=	xn+1 n + 1	+ C	si n ≠ -1
	x-1 dx	=	ln|x|+ C

En palabras:

1.	x55 dx	=	x56 56 + C
2.	1 x55 dx	=	x-55 dx = - x-54 54 + C
3.	dx	=	x0 dx = x1 1 + C = x + C

4.		x3	dx	=
5.		1 x2	dx	=

ex dx = ex + C	porque d dx ex = ex
cos x dx = sin x + C	porque d dx sin x = cos x
sin x dx = -cos x + C	porque d dx (-cos x) = sin x
sec2x dx = tan x + C	porque d dx tan x = sec2x

(a) Reglas de sumas y diferencias

[f(x) ± g(x)] dx

=

f(x) dx

±

g(x) dx

En palabras:

(b) Regla de múltiples constantes

kf(x) dx

=

k

f(x) dx

(k constant)

En palabras:

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

Suma:	(x3 + 1) dx	=	x3 dx + 1 dx
		=	x4 4 + x + C

Múltiple constante:	5x3 dx	=	5 x3 dx
		=	5x4 4 + C

Múltiple constante:	4 dx	=	4 1 dx
		=	4x + C

Ambas reglas:	(6x2 + 4) dx	=	6 x dx + 4 1 dx
		=	6x3 3 + 4x + C
		=	2x3 + 4x + C

Quería practicar? Pruebe la tutorial o los ejercicios.

Si u sea una función de x, podemos utilizar la próxima fórmula para evaluar una integral:

f dx

=

f du/dx

du

Usando la fórmula

Uso de esta fórmula equivale a el procedimiento siguiente :

1. Escriba u como una función de x.
2. Toma la derivada du/dx, y despeje a la cantidad dx como función de du.
3. Use la expresión que obtiene en parte 2 para sustituir para dx en la integral original.

Eligiendo a la u mejor

No hay una regla definida para elegir a u, pero hay algunas directrices que sirven a menudo son las siguientes:

• Elija para u una expresión que está elevando a una potencia.
• Elija para u t una expresión cuya derivada aparece como un factor del integrando.
• Elija para u el denominador en una expresión racional.
• Si la variable x no se puede eliminar por una sustitución, pruebe una otra sustitución.
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Para evaluar (x²+1)(x³ + 3x - 2)² dx, continúe como sigue:

u = x3 + 3x - 2     Escoja una expresión para u du dx = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1)     Tome du/dx dx = du 3(x2 + 1)     Despeje a dx

Ahora sustituya en la integral para llegar al solución como sigue:

(x2+1)(x3 + 3x - 2)2

dx

=	(x2+1)u2 du 3(x2 + 1)	Sustituya u y dx
=	u2 du 3	Cancele para eliminar x
=	1 3 u2 du	Regla de múltiples constantes
=	1 3 u3 3 + C	Tome la integral
=	(x3+3x-2)3 9 + C	Sustituya para obtener la respuesta en téminos de x

Quería practicar? Pruebe la tutorial o ejercicios.

Si s(t) representa posición al instante t, entonces su velocidad es dado por v(t) = s'(t) and acceleration by a(t) = v'(t). Esto significa que

v(t) = a(t) dt y

s(t) = v(t) dt.

Además, para movimiento por gravedad cerca la superficie de la Luna, ignorando la resistencia al aire, a(t) ≈ -9.8 m/s² es constante. Si se integramos dos veces, obenemos las ecuaciones

v(t) = v₀ - 9.8t m/sec   y

s(t) = s₀ + v₀t -4.9t² m

donde v₀ es la velocidad inicial y s₀ es la posición inicial.

Si u es una función de x, podremos utilizar la próxima formula para evaluar una integral:

Suma de Riemann

Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue.

Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales:

Δx = (b-a)/n,
x₀ = a,
x₁ = a + Δx,
x₂ = a + 2Δx,
...
x_n = a + nΔx = b

Luego, se suma los n productos f(x₀)Δx, f(x₁)Δx, f(x₂)Δx, ..., f(x_{n -1})Δx, para obtener la suma de Riemann.

Entonces,

Suma (izquierda) de Riemann	=	n-1 n = 0 f(xk)Δx
	=	f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... + f(xn -1)Δx
	=	[f(x0) + f(x1) + ... + f(xn -1)]Δx

La suma izquierda de Riemann da el área visto más abajo.

La intergal definida

Si f sea una función continua, la integral definida de f de a a b se define como

b     a

f(x) dx

=

lim n

n-1 n = 0

f(xk)Δx

En palabras:

La función f se llama le integrando, los números a y b son los límites de integración, y el variable x se llama la variable de integración.

Aproximando la integral definida Para aproximar la integral definida, usamos una suma de Riemann con un número grande de subdivisiones.

Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral _-1¹(x²+1) dx usando n = 5 subdivisiones.

Primero, para calcular las subdivisiones:

Δx = (b-a)/n = (1-(-1)/4 = 0.4.
x₀ = a = -1
x₁ = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6
x₂ = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2
x₃ = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2
x₄ = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6
x₅ = b = 1

La suma de Riemann que buscamos es

f(x₀)Δx + f(x₁)Δx + ... + f(x₄)Δx
  = [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4

Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue:

La suma de Riemann es, entonces,

6.8Δx = 6.80.4 = 2.72.
 

Si tiene usted Excel y quiere ver una representación visual de las sumas de Riemann como el dibujo a la izquierda, carge la graficador Excel de sumas de Riemann.

Interpretación geométrica de la integral definida (funciones no negativas)

Si f(x) ≥ 0 por toda x en [a, b], entonces _a^bf(x) dx es el área abajo de la gráfica de f y arriba del intervalo [a, b], como está sombreado en la figura siguiente.

Interpretación geométrica de la integral definida (todas funciones)

Para funciones generales, _a^bf(x) dx es el área entre x = a y x = b que está abajo la gráfica de f y arriba del eje x, menos el área abajo del eje x y arriba de la gráfica de f.

b     a

f(x) dx

=

Área verde - Área rojo

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1.	2     0 x dx = 2	Área mostrado = 2
2.	1     -1 x dx = 0	Verde - Rojo = 0

Relación entre la suma de Riemann y la definición en términos de área

La siguiente figura ilustra la relación entre la suma (izquierda) de Riemann y el área debajo de la gráfica para la integral ₀¹ (1-x²) dx.

Si Δx está el ancho de cada rectángulo, entonces:

Área del rectángulo primero (más izquierda) = altura × ancho = f(0)Δx = f(x₀)Δx
Área del rectángulo segundo = altura × ancho = f(x₁)Δx
....
Área del rectángulo último = altura × ancho = f(x_{n -1})Δx

Sumando los áreas de todos los rectángulos da la suma de Riemann. Cuando el número n de rectángulos vuelve más y más grande (entonces cada uno tiene un ancho que se acerca a cero) el área representado por la suma de Riemann se acerca al área actual. Entonces,

Límite de las sumas de Riemann = Integral = Área

Teorema fundamental de cálculo (TFC)

Sea f una función contínua y definida en el intervalo [a, b]. Entonces:

(a) Si A(x) = _a^x f(t) dt, entonces A'(x) = f(x), esto es, A está una antiderivada de f, y

(b) Si f es alguna antiderivada continua de f definida en [a, b], entonces

b     a

f(x) dx

=

F(b) - F(a).

Parte (b) en palabras:

Ejemplo de (a)

Si   A(x) =

x     0

et2 dt,   entonces  A'(x) = ex2.

Ejemplo de (b)
Como F(x) = x² es una antiderivada de f(x) = 2x,

1     0

2x dx   =   F(1) - F(0) = 12 - 02 = 1.

Un otro ejemplo of (b)

1     -1

(1-x2) dx

=

x - x3/3

1     -1

=

2 3

- (-

2 3

) =

4 3