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Cálculo aplicado resumen del tema: la integral

Herramientas: Integración numérica | Graficador Excel | Graficador Excel de sumas de Riemann

Tópicos: Antiderivadas | Integral indefinida | Regla de potencias para integrales | Integrales de funciones exponenciales y logaritmicos | Algunas reglas para la integral indefinida | Sustitución | Applicaciones: Movimiento recilíneo | Integral definida como suma: enfoque numérico | Integral definida como área: enfoque geométrico | Integral definida: enfoque algebráico y el teorema fundamental de cálculo

Antiderivadas


Una antiderivada de una función f es una función F tal que F'= f.

Antiderivada en palabras:

Una antiderivada de una dada función es una función cuya derivada es la dada función.

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Ejemplos

1.  Una antiderivada de 4x3 es x4
    porque la derivada de x4 es 4x3
2.  Una otra antiderivada de 4x3 es x4 + 7
    porque la derivada de x4 + 7 es también 4x3
3.  Una antiderivada de 2x es x2 + 12.
    porque la derivada de x2+12 es 2x

4.  Una antiderivada de 5 es
 
5.  Una antiderivada de x es
 

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Integral indefinida

La expresión

    f(x)dx

se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x," y representa el conjuncto de todas las antiderivadas de f.

Entonces, ∫ f(x) dx es una colección de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. (La expresión dx significa "respecto a x.")

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Ejemplos

1. 4x3 dx  = x4 + C     C es una constante arbitraria
2. 2x dx  = x2 + C

La constante de integración, C, nos recuerda que podemos susituir cualquier numero para C y obtener una otra antiderivada.

3. 5dx =
4. xdx =

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Regla de potencias para integrales
    xn dx =
    xn+1

    n + 1
    + C     si n-1
    x-1 dx = ln|x|+ C

En palabras:

Para calcular la integral de xn, se añade 1 al exponente, y se divide por el nuevo exponente. Esta regla es válida siempre y cuando n no sea -1.

Notas
1.
La integral 1 dx se suele escribir como dx.
2.
En forma parecida,
1

x55
dx se puede escribir como
dx

x55
.

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Ejemplos

1.
x55 dx
=
x56

56
+ C
2.
1

x55
dx
=
x-55 dx = -
x-54

54
+C
3.
  dx
=
x0 dx =
x1

1
+C = x + C

4. x3dx =
5.
1

x2
dx =

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Algunas integrales de funciones exponenciales y logaritmicos
    ex dx = ex + C
    porque
    d

    dx
    ex = ex
    cos x dx = sin x + C
    porque
    d

    dx
    sin x = cos x
    sin x dx = -cos x + C        
    porque
    d

    dx
    (-cos x) = sin x
    sec2x dx = tan x + C
    porque
    d

    dx
    tan x = sec2x

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Algunas reglas para la integral indefinida

(a) Reglas de sumas y diferencias

    [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

(b) Regla de múltiples constantes

    kf(x) dx = k f(x) dx       (k constant)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo" )

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

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Ejemplos

Suma:
(x3 + 1) dx
=
x3 dx + 1 dx
=
x4

4
+ x + C
Múltiple
constante:
5x3 dx
=
5 x3 dx
=
5x4

4
+ C
Múltiple
constante:
4 dx
=
4 1 dx
=
4x + C
Ambas reglas:
(6x2 + 4) dx
=
6 x dx + 4 1 dx
=
6x3

3
+ 4x + C
=
2x3 + 4x + C

Quería practicar? Pruebe la tutorial o los ejercicios.

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Sustitución

Si u sea una función de x, podemos utilizar la próxima fórmula para evaluar una integral:

    f dx =
    f

    du/dx
    du

Usando la fórmula

Uso de esta fórmula equivale a el procedimiento siguiente :

1. Escriba u como una función de x.
2. Toma la derivada du/dx, y despeje a la cantidad dx como función de du.
3. Use la expresión que obtiene en parte 2 para sustituir para dx en la integral original.

Eligiendo a la u mejor

No hay una regla definida para elegir a u, pero hay algunas directrices que sirven a menudo son las siguientes:

  • Elija para u una expresión que está elevando a una potencia.
  • Elija para u t una expresión cuya derivada aparece como un factor del integrando.
  • Elija para u el denominador en una expresión racional.
  • Si la variable x no se puede eliminar por una sustitución, pruebe una otra sustitución.
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Ejemplo

Para evaluar (x2+1)(x3 + 3x - 2)2 dx, continúe como sigue:

u = x3 + 3x - 2     Escoja una expresión para u
du

dx
= 3x2 + 3
=3(x2 + 1)     Tome du/dx
dx =
du

3(x2 + 1)
    Despeje a dx

Ahora sustituya en la integral para llegar al solución como sigue:

(x2+1)(x3 + 3x - 2)2 dx

    =
    (x2+1)u2
    du

    3(x2 + 1)
    Sustituya u y dx
    =
    u2
    du

    3
    Cancele para eliminar x
    =
    1

    3
    u2 du
    Regla de múltiples constantes
    =
    1

    3
    u3

    3
    + C
    Tome la integral
    =
    (x3+3x-2)3

    9
    + C
    Sustituya para obtener la respuesta en téminos de x

Quería practicar? Pruebe la tutorial o ejercicios.

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Applicaciones: Movimiento recilíneo

Si s(t) representa posición al instante t, entonces su velocidad es dado por v(t) = s'(t) and acceleration by a(t) = v'(t). Esto significa que

    v(t) = a(t) dt y

    s(t) = v(t) dt.

Además, para movimiento por gravedad cerca la superficie de la Luna, ignorando la resistencia al aire, a(t) ≈ -9.8 m/s2 es constante. Si se integramos dos veces, obenemos las ecuaciones

    v(t) = v0 - 9.8t m/sec   y

    s(t) = s0 + v0t -4.9t2 m

donde v0 es la velocidad inicial y s0 es la posición inicial.

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Integral definida como suma: enfoque numérico

Si u es una función de x, podremos utilizar la próxima formula para evaluar una integral:

Suma de Riemann

Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue.

Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales:

    Δx = (b-a)/n,
    x0 = a,
    x1 = a + Δx,
    x2 = a + 2Δx,
    ...
    xn = a + nΔx = b

Luego, se suma los n productos f(x0)Δx, f(x1)Δx, f(x2)Δx, ..., f(xn -1)Δx, para obtener la suma de Riemann.

Entonces,

Suma (izquierda) de Riemann =
n-1

n = 0
f(xkx
=
f(x0x + f(x1x + ... + f(xn -1x
=
[f(x0) + f(x1) + ... + f(xn -1)]Δx
La suma izquierda de Riemann da el área visto más abajo.

La intergal definida

Si f sea una función continua, la integral definida de f de a a b se define como

    b
     
     
    a
    f(x) dx = lim
    n
    n-1

    n = 0
    f(xkx

En palabras:

La intergal definida es el límite de los sumas de Riemann cuando el número de subdivisiones vuelve más y más grande (tiende a +∞).

La función f se llama le integrando, los números a y b son los límites de integración, y el variable x se llama la variable de integración.

Aproximando la integral definida Para aproximar la integral definida, usamos una suma de Riemann con un número grande de subdivisiones.

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Ejemplos

Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral -11(x2+1) dx usando n = 5 subdivisiones.

Primero, para calcular las subdivisiones:

    Δx = (b-a)/n = (1-(-1)/4 = 0.4.
    x0 = a = -1
    x1 = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6
    x2 = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2
    x3 = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2
    x4 = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6
    x5 = b = 1

La suma de Riemann que buscamos es

    f(x0x + f(x1x + ... + f(x4x
      = [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4

Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue:

x-1-0.6-0.20.20.6Total
f(x) = x2+121.361.041.041.366.8

La suma de Riemann es, entonces,

    6.8Δx = 6.80.4 = 2.72.
     
Para obtener una buen aproximación de la integral, debemos utilizar un número de subdivisiones mucho más grande que 5, y tecnología es necesario para esta tarea. Puede calcular sumas de Riemann en línea con la utilidad de integración.

Si tiene usted Excel y quiere ver una representación visual de las sumas de Riemann como el dibujo a la izquierda, carge la graficador Excel de sumas de Riemann.

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Integral definida como área: enfoque geométrico

Interpretación geométrica de la integral definida (funciones no negativas)

Si f(x) ≥ 0 por toda x en [a, b], entonces abf(x) dx es el área abajo de la gráfica de f y arriba del intervalo [a, b], como está sombreado en la figura siguiente.

Interpretación geométrica de la integral definida (todas funciones)

Para funciones generales, abf(x) dx es el área entre x = a y x = b que está abajo la gráfica de f y arriba del eje x, menos el área abajo del eje x y arriba de la gráfica de f.


b
 
 
a
f(x) dx = Área verde - Área rojo

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Ejemplos
1.
2
 
 
0
x dx = 2

Área mostrado = 2
2.
1
 
 
-1
x dx = 0

Verde - Rojo = 0

Relación entre la suma de Riemann y la definición en términos de área

La siguiente figura ilustra la relación entre la suma (izquierda) de Riemann y el área debajo de la gráfica para la integral 01 (1-x2) dx.

Si Δx está el ancho de cada rectángulo, entonces:

Área del rectángulo primero (más izquierda) = altura × ancho = f(0)Δx = f(x0)Δx
Área del rectángulo segundo = altura × ancho = f(x1)Δx
....
Área del rectángulo último = altura × ancho = f(xn -1)Δx

Sumando los áreas de todos los rectángulos da la suma de Riemann. Cuando el número n de rectángulos vuelve más y más grande (entonces cada uno tiene un ancho que se acerca a cero) el área representado por la suma de Riemann se acerca al área actual. Entonces,

    Límite de las sumas de Riemann = Integral = Área

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Integral definida: enfoque algebráico y el teorema fundamental de cálculo

Teorema fundamental de cálculo (TFC)

Sea f una función contínua y definida en el intervalo [a, b]. Entonces:

(a) Si A(x) = ax f(t) dt, entonces A'(x) = f(x), esto es, A está una antiderivada de f, y

(b) Si f es alguna antiderivada continua de f definida en [a, b], entonces

    b
     
     
    a
    f(x) dx=F(b) - F(a).

Parte (b) en palabras:

Para calcular la integral definida ∫abf(x) dx sin tener que usar ningún sumas de Riemann, todo que debemos hacer es buscar una antiderivada de f, evaluarla a x = b, evaluarla a x = a, y restar.

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Ejemplos

Ejemplo de (a)
Si   A(x) = x
 
 
0
et2 dt,   entonces  A'(x) = ex2.

Ejemplo de (b)
Como F(x) = x2 es una antiderivada de f(x) = 2x,
1
 
 
0
2x dx   =   F(1) - F(0) = 12 - 02 = 1.

Un otro ejemplo of (b)

1
 
 
-1
(1-x2) dx = x - x3/3 1
 
 
-1
= 2

3
- (- 2

3
) = 4

3

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Ultima actualización: junio 2007
Derechos de autor © Stefan Waner

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