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Cálculo aplicado resumen del tema: la integral |
Antiderivadas
Antiderivada en palabras: |
Ejemplos
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Integral indefinida
La expresión
se lee "la integral indefinida de f(x) respecto a x," y representa el conjuncto de todas las antiderivadas de f. Entonces, ∫ f(x) dx es una colección de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración. (La expresión dx significa "respecto a x.") |
Ejemplos
La constante de integración, C, nos recuerda que podemos susituir cualquier numero para C y obtener una otra antiderivada. |
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Regla de potencias para integrales
En palabras: Notas
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Ejemplos
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Algunas integrales de funciones exponenciales y logaritmicos
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Algunas reglas para la integral indefinida
(a) Reglas de sumas y diferencias
En palabras: (b) Regla de múltiples constantes
En palabras: ¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes. |
Ejemplos
Quería practicar? Pruebe la tutorial o los ejercicios. |
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Sustitución
Si u sea una función de x, podemos utilizar la próxima fórmula para evaluar una integral:
Usando la fórmula Uso de esta fórmula equivale a el procedimiento siguiente : 1. Escriba u como una función de x.
Eligiendo a la u mejor No hay una regla definida para elegir a u, pero hay algunas directrices que sirven a menudo son las siguientes:
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Ejemplo
Para evaluar (x2+1)(x3 + 3x - 2)2 dx, continúe como sigue:
Ahora sustituya en la integral para llegar al solución como sigue:
Quería practicar? Pruebe la tutorial o ejercicios. |
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Applicaciones: Movimiento recilíneo
Si s(t) representa posición al instante t, entonces su velocidad es dado por v(t) = s'(t) and acceleration by a(t) = v'(t). Esto significa que
s(t) = v(t) dt. Además, para movimiento por gravedad cerca la superficie de la Luna, ignorando la resistencia al aire, a(t) ≈ -9.8 m/s2 es constante. Si se integramos dos veces, obenemos las ecuaciones
s(t) = s0 + v0t -4.9t2 m donde v0 es la velocidad inicial y s0 es la posición inicial. |
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Integral definida como suma: enfoque numérico
Si u es una función de x, podremos utilizar la próxima formula para evaluar una integral: Suma de Riemann Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue. Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales:
x0 = a, x1 = a + Δx, x2 = a + 2Δx, ... xn = a + nΔx = b Luego, se suma los n productos f(x0)Δx, f(x1)Δx, f(x2)Δx, ..., f(xn -1)Δx, para obtener la suma de Riemann. Entonces,
La intergal definida Si f sea una función continua, la integral definida de f de a a b se define como
En palabras: La función f se llama le integrando, los números a y b son los límites de integración, y el variable x se llama la variable de integración. Aproximando la integral definida Para aproximar la integral definida, usamos una suma de Riemann con un número grande de subdivisiones. |
Ejemplos
Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral -11(x2+1) dx usando n = 5 subdivisiones. Primero, para calcular las subdivisiones:
x0 = a = -1 x1 = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6 x2 = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2 x3 = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2 x4 = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6 x5 = b = 1 La suma de Riemann que buscamos es
  = [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4 Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue:
La suma de Riemann es, entonces,
Si tiene usted Excel y quiere ver una representación visual de las sumas de Riemann como el dibujo a la izquierda, carge la graficador Excel de sumas de Riemann. |
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Integral definida como área: enfoque geométrico
Interpretación geométrica de la integral definida (funciones no negativas) Si f(x) ≥ 0 por toda x en [a, b], entonces abf(x) dx es el área abajo de la gráfica de f y arriba del intervalo [a, b], como está sombreado en la figura siguiente. Interpretación geométrica de la integral definida (todas funciones) Para funciones generales, abf(x) dx es el área entre x = a y x = b que está abajo la gráfica de f y arriba del eje x, menos el área abajo del eje x y arriba de la gráfica de f.
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Ejemplos
Relación entre la suma de Riemann y la definición en términos de área La siguiente figura ilustra la relación entre la suma (izquierda) de Riemann y el área debajo de la gráfica para la integral 01 (1-x2) dx. Si Δx está el ancho de cada rectángulo, entonces:
Área del rectángulo primero (más izquierda) = altura × ancho = f(0)Δx = f(x0)Δx
Sumando los áreas de todos los rectángulos da la suma de Riemann. Cuando el número n de rectángulos vuelve más y más grande (entonces cada uno tiene un ancho que se acerca a cero) el área representado por la suma de Riemann se acerca al área actual. Entonces,
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Integral definida: enfoque algebráico y el teorema fundamental de cálculo
Teorema fundamental de cálculo (TFC) Sea f una función contínua y definida en el intervalo [a, b]. Entonces: (a) Si A(x) = ax f(t) dt, entonces A'(x) = f(x), esto es, A está una antiderivada de f, y (b) Si f es alguna antiderivada continua de f definida en [a, b], entonces
Parte (b) en palabras: |
Ejemplos
Ejemplo de (a)
Ejemplo de (b)
Un otro ejemplo of (b)
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