Continuidad & Diferenciabilidad
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Parte A: Continuidad Ejercicios para este tema Índice de texto en línea Todo para Cálculo Aplicado Todo para Matemáticas Finitas Todo para Matemáticas Finitas & Cálculo Aplicado Utilidad: Evaluador & Graficador de Funciones English |
Parte B: Diferenciabilidad
Nota Para entender este tema, debes estar familiarizado con las derivadas y límites, como se explica en el capítulo sobre el tema en Cálculo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, puedes revisar el material del resumen del tema de derivadas y límites o, para estudiarlo más detalladamente, el tutorial en línea sobre derivadas y límites.
Para empezar, recordando la definición de la derivada de una función, y lo que significa para una función ser diferenciable.
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Derivada; Diferenciabilidad
La derivada de una función $f$ en el punto a en su dominio se define por
La función $f$ es diferenciable en el subconjunto $S$ de su dominio si es diferenciable en cada punto de $S.$ Nota
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Ejemplo 1 Funciones no diferenciables en puntos aislados
Determina los puntos de no diferenciabilidad de las siguientes funciones
Solución
(a)
La regla de la potencia nos dice que $f(x) = (x-1)^{1/3}$ tiene derivada $f'(x) = (1/3)(x-1)^{-2/3}$ en todas los puntos donde se define esta expresión, y no es diferenciable cuando $(1/3)(x-1)^{-2/3}$ no se define. Porque $(x-1)$ tiene un exponente negativo, $f'(x)$ no está definido cuando $x = 1,$ y por lo tanto $f$ no es diferenciable ahí. De hecho, un cálculo directo muestra que
| $lim$ $h→0$ |
$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}=$ | $lim$ $h→0$ |
$\frac{h^{1/3}}{h} =$ | $lim$ $h→0$ |
| (b) | Porque $g(x) = \|x+2\| =$ |  | $-(x+2)$ $x+2$ | si $x ≤ -2$ si $x > -2$ |
, |
| $lim$ $h→0$ |
$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} =$ | $lim$ $h→0$ |
$\frac{\|h\|}{h}.$ |
(c) La regla del cociente nos dice que $r(x) = x^2/(x - 1)$ es diferenciable en todos los puntos excepto en $x = 1.$ Sin embargo, $x = 1$ no está en el dominio de $r,$ y por lo tanto $r$ es diferenciable en todos los puntos de su dominio.
Como vemos en la gráfica a la derecha, no hay puntos de tangencia vertical o cúspides.
Antes de seguir...
Como se puede ver, las gráficas proporcionan información inmediata en cuanto a dónde debe buscar un punto de no diferenciabilidad: un punto donde parece que hay un cúspide o una tangente vertical.
Aquí está uno para ti.
Ejemplo 2 Puntos de no difereciabilidad
P En Parte A hablamos de continuidad, y aquí hablamos de diferenciabilidad. ¿Son todas las funciones continuas son diferenciables? ¿Todas las funciones diferenciables son continuas?
Teorema Diferenciabilidad implica continuidad
| $lim$ $h→0$ |
existe, e igual $f'(a).$ |
| $lim$ $h→0$ |
$f(a+h) - f(a) =$ | $lim$ $h→0$ |
$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} ^{.} h = f'(a) ^{.} 0 = 0.$ | Límite del producto = producto de los límites |
| $lim$ $h→0$ |
$f(a+h) =$ | $lim$ $h→0$ |
$[f(a+h) - f(a)] + f(a) = 0 + f(a) = f(a).$ | Límite de la suma = suma de los límites |
| $lim$ $x-a→0$ |
$f(x) = f(a).$ |
| $lim$ $x→a$ |
$f(x) = f(a),$ |
Ahora puedes probar el resto de los ejercicios en los ejercicios para este tema.