La razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [a, b] es

Razón promedio de cambio

=

Δf Δx

=

f(b) - f(a) b - a

.

La razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [a, a+h] es

Razón promedio de cambio

=

f(a+h) - f(a) h

.

Unidades:
Las unidades de la razón promedio de cambio son unidades de f por unidad de x.

Si f(x) = 2x² - 4x + 1, entonces la razón promedio de cambio de f(x) durante el intervalo [2, 4] es

Razón promedio de cambio	=	f(4) - f(2) 4 - 2
	=	17 - 1 2 = 8.

Interpretación:
Si, por ejemplo, f(x) se representa los beneficios de su compañía (en millones de dólares) y x se representa el año desde enero 2003, entonces las unidades de medida de la razón promedio de cambio son millones de dólares al año. De esta manera, su compañía ganó un beneficio promedio de $8 millón al año durante el periodo enero 2005 (t = 2) a enero 2007 (t = 4).

Se puede usar la siguiente pequeña utilidad para calcular la razón promedio de cambio de la función anterior f(x) durante otros intervalos. Introduca las coordenadas-x (a y b en la formula), deje blanco todo el resto, y pulse "Calcula." (Se puede también cambiar la función a alguna función que se quiere, usando formato normal de tecnología.)

Se puede utilizar también el evaluador de funciones para computar razones promedios de cambio.

La razón instantánea de cambio de f(x) a x = a se define como el límite de las razones promedio del cambio en los intervalos [a, a+h] (calculados por los cocientes de las diferencias) cuando h tiende a 0.

Razón instantánea de cambio

=

lim h→0

f(a+h) - f(a) h

.

f'(a)

=

lim h→0

f(a+h) - f(a) h

.

Nota:

• f'(a) = Razón instantánea de cambio de f al punto a.
• f'(x) = Razón instantánea de cambio de f al punto x.

Como es un límite f'(x), hay la posibilidad que no exista. Es decir, las cantidades [f(x+h) - f(x)]/h pueden acercarse a un número fijado o no cuando h tiende a cero. Si todo vaya bien y existe el límite, decimos que f es diferenciable a x. Si no, decimos que f no es diferenciable a x.

Aquí, resumimos tres maneras para obtener la derivada a un punto: numérica, geométrica, y algebraica.

Si f(x) = 2x² - 4x + 1, como más arriba. Entonces, la razón instantánea de f(x) a x = 2 es

f'(2) = 4.

Interpretación
Si, por ejemplo, f(x) se representa los beneficios de su compañía (en millones de dólares) y x se representa el año desde enero 2003, entonces las unidades de medida de la razón instantánea de cambio son las mismas que las de la razón promedio: millones de dólares al año. De esta manera, los beneficios de su compañía crecían a una tasa de 4 millones de dólares al año a principios de 2005 (t = 2).

Para calcular numéricamente un valor aproximado de f'(a) (para un valor especifico a) se puede usar:

1. Una tabla de valores
2. Una "aproximación rápida"

Usando una tabla
En una tabla, se calcula una secuencia de valores de los cocientes de las diferencias

f(a+h) - f(a) h

Usando una aproximación rápida
Se elige un solo valor pequeño de h y se calcula el cociente de las diferencias:

f'(a)

≈

f(a + 0.0001) - f(a) 0.0001

Cociente adelante de las diferencias

Una otra aproximación rápida: Cociente balanceado de las diferencias
Con frecuencia la siguiente formula alternativa produce un resultado más exacto:

f'(a)

≈

f(a+0.0001) - f(a-0.0001) 0.0002

Cociente balanceado de las diferencias

Calculador de Derivadas (Cociente balanceado de las diferencias)
Introduzca una función, introduzca el punto a, ajuste h como quiere, y pulse "Calcula".

f(x) = a =     h =

f'(a)

   

Cabeza de la página

Para continuar con el ejemplo f(x) = 2x² - 4x + 1, calculamos un valor aproximado de f'(2).

Usando una tabla: El cociente de las diferencias (con a = 2) es

	f(2+h) - f(2) h
=	2(2+h)2-4(2+h)+1 - (2(2)2-4(2)+1) h

Cuando h se dismunue, podremos ver que el valor se acerca cada vez más a 4. Entonces, concluimos

f'(2) ≈ 4.

Usando una aproximación rápida (cociente adelante de las diferencias):
Usamos la formula (con a = 2)

f'(2)	≈	f(2+0.0001) - f(2) 0.0001
	=	f(2.0001) - f(2) 0.0001
	=	1.00040002 - 1 0.0001	=	4.0002.

Observe que el cociente adelante de las diferencias no se da el valor exacto (4), pero en el caso de funciones cuadráticas como esta, el cociente balanceado de las diferencias da siempre el valor exacto.

Recta secante y tangente
La pendiente de la recta secante por los puntos en la gráfica de f donde x = a y x = a+h se determina como la pendiente de la recta PQ en la siguiente diagrama:

msec = Pendiente de recta secante por P y Q = f(a+h) - f(a) h

Esta es también la formula de la razón promedio de cambio de f durante el intervalo [a,a+h]. Entonces,

La pendiente de la recta tangente en el punto en la curva de f donde x = a se determina por mover el punto Q cada vez más cerca a P; es decir, por dejar que h acercarse a 0:

mtan = Pendiente de recta tangente

=

lim h→0

f(a+h) - f(a) h

=

f'(a)

Esta es también la formula de la razón instantánea de cambio de f al punto a. Entonces,

Podemos aproximar la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto en el que x = a con el cociente balanceado de diferencias:

mtan

≈

f(a+0.0001) - f(a0.0001) 0.0002

.

Acercando
Podremos interpretar la derivada o la pendiente de la recta tangente en un punto especifico de la gráfica como la pendiente de la línea (casi) recta obtenido por acercándose lo suficiente en este punto de la gráfica. (Mire en frente.)

Texto en Línea: Gráfica de la Derivada
Clic aquí por texto en línea para hacer un bosquejo de la gráfica de f' basada en el conocimiento de la gráfica de f.

Vamos a considerar otra vez el ejemplo f(x) = 2x² - 4x + 1,

Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos donde x = 2 y x = 3
	= Razón promedio de cambio de f(x) en [2, 3] = 6   (mire la calculación en la tabla más arriba)

Pendiente de la recta tangente por el punto donde x = 2
	= Razón instantánea de cambio de f(x) en x = 2 = 4    (mire la aproximación rápida más arriba)

Aquí es la gráfica que demuestra las dos rectas:

Se puede observar directamente en la gráfica que la pendiente de la recta tangente es 4, pues esta línea sube 4 unidades por cada unidad de crecimiento de x.

Acercando

Aquí es una ilustración por acercándonos en el punto de una gráfica donde x = 0.75:

Para computar la derivada de una función algebraicamente, se avanza como sigue:

1. Se escribe la definición de la derivada,

   f'(x)

   =

   lim h→0

   f(x+h) - f(x) h

   .

2. Se substituye f(x+h) y f(x)

   Se puede utilizar un valor especifico en lugar de x si esté pedido, por ejemplo, a computar f'(3), o, en cambio, se puede dejarlo como x si esté pedido a computar la función derivada f'(x) .

3. Se simplifica el numerador para sacar "h" como factor común. Después, se elimina la h y se calcula el límite para llegar a la respuesta.

   A veces, se debe que hacer más que solo simplificar el numerador para calcular el límite...

Regresando a nuestro primer ejemplo, f(x) = 2x² - 4x + 1, déjenos calcular f'(x) algebraicamente siguiendo las tapas a la izquierda

f'(x)	=	lim h→0 f(x+h) - f(x) h		Formula de la derivada
	=	lim h→0 (2(x+h)2-4(x+h)+1) - (2x2-4x+1) h		Sustituya f(x+h) y f(x)
	=	lim h→0 2x2+4xh+2h2-4x-4h+1-2x2+4x-1 h		Desarrolle
	=	lim h→0 4xh+2h2-4h h		Elimine 2x2, 4x, 1
	=	lim h→0 h(4x+2h-4) h		Saque h como factor común
	=	lim h→0 (4x+2h-4)		Elimine la h
	=	4x-4		Haga que h tiende a 0

Entonces,  f'(x) = 4x-4.

Vaya a la tutorial de razones promedio de cambio para practicar calculaciones como lo más arriba, o a la tutorial de la computación de la derivada algebraicamente y desplaza hacia abajo a la caja de diálogo llamada "Calculación Algebraica de la Derivada". El botón "Ayuda" muestra la solución completa.

Para un objeto que se mueve en línea recta con posición s(t) en el momento t, la velocidad promedio entre el momento t y el momento t+h es dado por la razón promedio de cambio de la posición s(t) respecto al tiempo:

vpromedio

=

s(t+h) - s(t) h

.

La velocidad instantánea en el momento t es la razón instantánea de cambio de la posición s(t) respecto al tiempo:

v(t)

=

s'(t)

=

lim h→0

s(t+h) - s(t) h

.

Si la posición de un objeto que se mueve es

s(t) = t² -2t+4 km

s'(t) = 2t-2 km/h.

s'(3) = 4 km/h.

Regla de potencias
Si f(x) = xⁿ, entonces f'(x) = nx^n-1. Esta formula es valido para cualquier constante potencia n. En la notación diferencial, se escribe

d dx xn

=

nxn - 1

La derivada, respecto a x, de xⁿ es igual a nx^{n - 1}

Reglas de sumas y múltiplos constantes
Si existen f'(x) y g'(x), y si c es una constante, entonces

(A) [f(x)   ±   g(x)]' = f'(x)   ±   g'(x)

(B) [cf(x)]' = cf'(x) .

(A)

d dx

[f(x) ± g(x)] =

d dx

[f(x)] ±

d dx

[g(x)]

(B)

d dx

[cf(x)] = c

d dx

[f(x)]

En palabras:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.

La derivada de c por una función es c por la derivada de la función.

d dx x3.2

=

3.2x2.2

d dx 4x - 1

=

- 4x - 2

d dx 3x1.1 + 4x - 2

=

3.3x0.1 - 8x - 3

d dx 1 x	=	d dx x - 1
	=	- x - 2
	=	- 1 x2

¿Quiere praticar? Pruebe el tutorial interactivo o pruebe algunos ejercicios.

Si Q(x) se representa cualquier cantidad como costo, ingreso, utilidad, o pérdida por la venta de x artículos, entonces Q'(x) se llama la cantidad marginal. Entonces, por ejemplo, el costo marginal mide la tasa de cambio del costo (el costo aproximado del siguiente artículo).

El costo marginal es distinto del costo promedio, que mide el promedio de los x primeros artículos. El costo promedio es dado por

C(x)	=	C(x) x
	=	Costo Total Número de Artículos

Si el costo de los primeros x artículos es

C(x) = 4x^0.2 - 0.1x libras esterlinas.

C'(x) = 0.8x^-0.8 - 0.1 libras esterlinas por artículo.

El costo promedio de los tres primeros artículos es

C(3)	=	C(3) 3
	≈	4.6829 3
	≈	1.56 libra esterlina/artículo