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Cálculo aplicado capitulo en-línea: cálculo aplicado a probabilidad y estadística
Sección 2. Funciones de densidad de probabilidad y la distribución uniforme

Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la probabilidad P(c \leq X \leq d) se calcula como la área bajo el histograma entre X = c y X = d. Por otro lado, hemos también visto que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:

Ejemplo 1 Edad de un coche alquilado

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Ejemplo 1 sugiera la siguiente definición:

Función de densidad de probabilidad

Una función de densidad de probabilidad es una función f cuyo dominio es un intervalo (a,b) y que tiene las siguientes propiedades:

    (a) f(x) \geq 0 por toda x

    (b) \displaystyle \int_a^b f(x)\ dx = 1

Permitimos que sea infinita a, b, o todos dos, como en el ejemplo más arriba, de modo que la integral in (b) sería impropia.

Calculación de probabilidad por una función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria continua X admite una función de densidad de probabilidad f si, por toda c y d,

    \displaystyle P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x)\ dx.  

Ejemplo Sea f(x) = \frac{2}{x^2} en el intervalo [a, b] = [1, 2]. Entonces propiedad (a) se aplique, pues es positiva \frac{2}{x^2} en en intervalo [1, 2]. Para propiedad (b),

    \int_a^b f(x)\ dx = \int_1^2\frac{2}{x^2}\ dx = \Bigl[-\frac{2}{x}\Bigr]_1^2 = -1 + 2 = 1

Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces

    P(1.5 \leq X \leq 2) =        

Note Si X admite una función de densidad de probabilidad f, entonces

mostrando que es cero la probabilidad de que X asuma cualquier valor especificado.

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Ejemplo 2 Normalización

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Función de densidad uniforme

Una función de densidad uniforme f es una función de densidad de probabilidad que es constante, de modo que es la forma más sencilla de una función de densidad. Pues requerimos f(x) = k para cualquier constante k, requisito (b) en la definición de una función de densidad de probabilidad nos informa que

Por tanto, requerimos

En otras palabras, una función de densidad uniforme debe tener la siguiente forma:

Función de densidad uniforme

La función de densidad uniforme en el intervalo \pmb{[a, b]} es la función constante definida por

    f(x) = \frac{1}{b-a}.

Su gráfica es una recta horizontal:

Si una variable aleatoria X admite una función de densidad uniforme, decimos que X es distribuida uniformemente o que X tiene una distribución uniforme.

Calculación de probabilidad con una función de densidad uniforme

Pues se calcula probabilidad como área, es bastante fácil calcular probabilidades basadas por distribuciones uniformes:

P(c \leq X \leq d) = \text{ Área del rectángulo sombreado } = \frac{d-c}{b-a}
Ejemplo

Sea X un número aleatorio entre 0 y 5. Entonces X tiene una distribución uniforme dada por

    f(x) = \frac{1}{5-0} = \frac{1}{5}
Por lo tanto,
    P(2 \leq X \leq 4.5) =          

Ejemplo 3 Girando un dial

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Última actualización: Marzo, 2008
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