2. Funciones de densidad de probabilidad y la distribución uniforme

Cálculo aplicado capitulo en-línea: cálculo aplicado a probabilidad y estadística

Sección 2. Funciones de densidad de probabilidad y la distribución uniforme

Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad, entonces la probabilidad P(c \leq X \leq d) se calcula como la área bajo el histograma entre X = c y X = d. Por otro lado, hemos también visto que puede ser difícil calcular probabilidades para rangos de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema, vamos a ver el siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:

Ejemplo 1 Edad de un coche alquilado

Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche alquilado:

Edad (Años)	0-1	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7
Probabilidad

El histograma de la distribución de probabilidad se muestra a la izquierda de la figura más abajo, sugiriendo una curva como esta mostrada a la derecha. (Hay muchas curvas parecidas que se sugiere el histograma. El problema de hallar la curva más apropiada para una situación específica es un tema que consideremos más abajo.)

función de densidad de probabilidad

[0,+\infty)

Supóngase, como en la sección anterior, que deseemos calcular la probabilidad de que un coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad. Por la tabla,

P(0 \leq X \leq 4) = .10 + .26 + .28 + .20 = .84.

Si miramos la gráfica a la izquierda en la siguiente figura, observamos que podemos obtener los mismo resultado por sumar las áreas de las barras correspondientes, pues cada barra tiene una anchura de 1 unidad.

P(0 \leq x \leq 4) = Área sombreada

P(0 \leq x \leq 4) = \int_0^4f(x)\ dx

0 \leq X \leq 4

P(0 \leq X \leq 4) = \int_0^4 f(x)\ dx = .84

¿Ahora qué sucede si deseamos calcular P(2 \leq X \leq 3.5)? Lo estimamos en Sección 1 por haber tomado la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).

P(2 \leq x \leq 3.5) = Área sombreada

P(0 \leq x \leq 4) = \int_2^{3.5} f(x)\ dx

En cambio, podemos usar la integral definida

P(0 \leq x \leq 4) = \int_2^{3.5} f(x)\ dx

Antes de seguir... Aunque no le hemos dado una formula para f(x), desearíamos que f(x) se comporte como descrito más arriba. Hay también algo más que desearíamos: Pues un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener una edad entre 0 y \infty, requerimos

P(0 \leq X < +\infty) = \int_0^{+\infty} f(x)\ dx = 1

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Ejemplo 1 sugiera la siguiente definición:

Función de densidad de probabilidad

Una función de densidad de probabilidad es una función f cuyo dominio es un intervalo (a,b) y que tiene las siguientes propiedades:

(a)

f(x) \geq 0

(b) \displaystyle \int_a^b f(x)\ dx = 1

Permitimos que sea infinita a, b, o todos dos, como en el ejemplo más arriba, de modo que la integral in (b) sería impropia.

Calculación de probabilidad por una función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria continua X admite una función de densidad de probabilidad f si, por toda c y d,

\displaystyle P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(x)\ dx.

Ejemplo Sea f(x) = \frac{2}{x^2} en el intervalo [a, b] = [1, 2]. Entonces propiedad (a) se aplique, pues es positiva \frac{2}{x^2} en en intervalo [1, 2]. Para propiedad (b),

\int_a^b f(x)\ dx = \int_1^2\frac{2}{x^2}\ dx = \Bigl[-\frac{2}{x}\Bigr]_1^2 = -1 + 2 = 1

Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces

Note Si X admite una función de densidad de probabilidad f, entonces

P(X = c) = P(c \leq X \leq c) = \int_c^c{f(x)\ dx} = 0

mostrando que es cero la probabilidad de que X asuma cualquier valor especificado.

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Ejemplo 2 Normalización

Para cual constante k es f(x) = ke^{-x} una función de densidad de probabilidad definida en [0,1]?

Solución Necesitamos escoger un valor de k para que sean ciertos requisitos (a) y (b) de la definición. Pues e^{-x} > 0 para toda x, todo que necesitamos para (a) es que k > 0. Para (b), calculamos

\begin{align*} \int_0^1{ke^{-x}}\ dx &= -\Bigl[ ke^{-x}\Bigr]_0^1\\ &= k\Bigl(1-\frac{1}{e}\Bigr) = \frac{k(e-1)}{e} \end{align*}

Pues esta expresión debe ser igual a 1, obtenemos

\begin{align*} &\frac{k(e-1)}{e} = 1 \qquad \text{que se da}\\ &k = \frac{e}{e-1} \approx 1.582 \end{align*}

Por lo tanto, la función

f(x) = \Bigl(\frac{e}{e-1}\Bigr) e^{-x}

es una función de densidad de probabilidad sobre [0,1].

Antes de seguir... Sea f cualquier función no negativa con dominio cualquier intervalo (a, b), entonces el proceso de escoger una constante apropiada k para que \int_a^b {kf(x) \ dx} = 1 se llama normalizando la función f.

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Función de densidad uniforme

Una función de densidad uniforme f es una función de densidad de probabilidad que es constante, de modo que es la forma más sencilla de una función de densidad. Pues requerimos f(x) = k para cualquier constante k, requisito (b) en la definición de una función de densidad de probabilidad nos informa que

1 = \int_a^b f(x)\ dx = \int_a^b k\ dx = (b-a)k

Por tanto, requerimos

k = \frac{1}{b-a}

En otras palabras, una función de densidad uniforme debe tener la siguiente forma:

Función de densidad uniforme

La función de densidad uniforme en el intervalo \pmb{[a, b]} es la función constante definida por

f(x) = \frac{1}{b-a}.

Su gráfica es una recta horizontal:

Si una variable aleatoria X admite una función de densidad uniforme, decimos que X es distribuida uniformemente o que X tiene una distribución uniforme.

Calculación de probabilidad con una función de densidad uniforme

Pues se calcula probabilidad como área, es bastante fácil calcular probabilidades basadas por distribuciones uniformes:

P(c \leq X \leq d) = \text{ Área del rectángulo sombreado } = \frac{d-c}{b-a}

Ejemplo

Sea X un número aleatorio entre 0 y 5. Entonces X tiene una distribución uniforme dada por

f(x) = \frac{1}{5-0} = \frac{1}{5}

Por lo tanto,

Ejemplo 3 Girando un dial

Supóngase que se gire el dial mostrado en la figura para que para en una posición aleatoria. Modele esto como una apropiada función de densidad de probabilidad, y úsela para calcular la probabilidad de que la aguja pare a cualquier posición entre 5° y 300°.

Solución

Definimos X como el ángulo al que la aguja para, de modo que usamos el intervalo [0, 360] para su rango. Pues todos ángulos son equiprobables, la función de densidad debe ser independiente de x, y por lo tanto debe ser constante. Es decir, tomamos f como uniforme.

f(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{360-0} = \frac{1}{360}

Por lo tanto,

P(5 \leq X \leq 300) = \int_5^{300} \frac{1}{360}\ dx = \frac{300-5}{360} = \frac{295}{360} \approx .8194.

Antes de seguir... Compruebe las siguientes probabilidades. ¿Por qué son estas las respuestas que espera usted?

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