Recurso
¿Qué es una variable aleatoria?
En muchos experimentos podemos asignar valores numéricos a los resultados. Por ejemplo, si tiras un dado, cada resultado tiene un valor de 1 a 6. Si determinas la marca en una prueba obtenida por un alumno en tu clase, el resultado es de nuevo un número. Llamamos a una regla que asigna un número a cada resultado de un experimento una variable aleatoria.
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una regla $X$ que asigna un número, o valor, a cada resultado en el espacio muestral de un experimento.
Ejemplos
-
Tira un dado; $X =$ el núero hacia arriba.
Valores de $X:$ $1, 2, 3, 4, 5, 6$ -
Elige un futbolista; $Y =$ el número de goles marcado por el futbolista durante la temporada.
Valores de $Y:$ $0, 1, 2, 3, 4, ...$ -
Lanza una moneda tres veces. $Z =$ el número de veces que salen águilas.
Valores de $Z:$ $0, 1, 2, 3$
Tipos de variable aleatoria
Una variable aleatoria discreta puede tomar sólo valores numéricos específicos aislados, como el resultado de un rollo de dado, o el número de acciones en una cartera. Las variables aleatorias discretas que pueden tomar sólo un número finito de valores (como el resultado de un tiro de un dado) se llaman variables aleatorias finitas . Variables aleatorias discretas que pueden tomar un número efectivamente ilimitado de valores (como el número de pasos en un procedimiento) son variables aleatorias infinitas discretas. Una variable aleatoria continua, por otro lado, puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo o un intervalo, como la temperatura en Central Park, o la altura exacta de un atleta en metros.
Ejemplos
Variable aleatoria \t Valores \t Tipo
\\ Tira un dado
$X =$ el núero hacia arriba. \t ${0,1,2,3,4,5,6}$ \t Finita
Solo hay seis valores posibles para $X.$ \\ Elige un futbolista.
$Y =$ el número de goles marcado por el jugador durante la temporada. \t $0, 1, 2, 3, 4, ...$ \t Infinita discreta
No hay un límite máximo establecido para el número de goles. \\ Pese tu montón de ropa sucia.
$Z =$ el peso exacto en kg \t Todos los números reales no negativos \t Continua
El peso puede ser cualquier número no negativo en un rango continuo.
Algunos para ti
$X =$ el núero hacia arriba. \t ${0,1,2,3,4,5,6}$ \t Finita
Solo hay seis valores posibles para $X.$ \\ Elige un futbolista.
$Y =$ el número de goles marcado por el jugador durante la temporada. \t $0, 1, 2, 3, 4, ...$ \t Infinita discreta
No hay un límite máximo establecido para el número de goles. \\ Pese tu montón de ropa sucia.
$Z =$ el peso exacto en kg \t Todos los números reales no negativos \t Continua
El peso puede ser cualquier número no negativo en un rango continuo.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria finita
Dada una variable aleatoria $X$, entonces, dependiendo del resultado del experimento, hay una cierta probabilidad de que, por ejemplo, $X$ resultará ser 2. Esta probabilidad es la probabilidad del suceso que $X = 2$: el suceso que consta de todos los resultados que tienen un valor-$X$ asignado de 2. Para ilustrar esto, veamos un ejemplo: Tira un par de dados justos y toma $X$ para ser la suma de los números hacia arriba. Entonces
Suceso de que $X = 2$ \t Suceso de que tiras un 2
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados que resultan en una suma de 2 \\ \gap[20] $= \{(1,1)\}$
\\
\\ Suceso de que $X = 3$ \t Suceso de que tiras un 3
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados que resultan en una suma de 3 \\ \gap[20] $= \{(1,2), (2,1)\}$
\\
\\ Suceso de que $X = 4$ \t Suceso de que tiras un 4
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados que resultan en una suma de 4 \\ \gap[20] $= \{(1,3), (2, 2), (3,1)\}$
\\
\\ ...
\\ Suceso de que $X = 12$ \t Suceso de que tiras un 12
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados que resultan en una suma de 12 \\ \gap[20] $= \{(6,6)\}$
Cada uno de estos eventos tiene una cierta probabilidad. Por ejemplo, la probabilidad de que $X = 2$ es $\frac{1}{36}$ porque el suceso de que $X = 2$ consiste en 1 de los 36 posibles resultados (igualmente probables). Escribimos
\t $\displaystyle \qquad P(X = 2) = \frac{1}{36}$. \gap[20] \t La probabilided de que $X = 2$ es $\frac{1}{36}$.
\\ \t !4! Del mismo modo, la probabilidad de que $X = 3$ es $\frac{2}{36}$ porque el suceso de que $X = 3$ consiste en 2 de los 36 resultados posibles \\ \t $\displaystyle \displaystyle \qquad P(X = 3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$. \t La probabilided de que $X = 3$ es $\frac{1}{18}$.
\\ \t $\displaystyle \displaystyle \qquad P(X = 4) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. \t La probabilided de que $X = 4$ es $\frac{1}{12}$.
\\ \t $\qquad \cdots$
\\ \t $\displaystyle \displaystyle \qquad P(X = 12) = \frac{1}{36}$. \t La probabilided de que $X = 12$ es $\frac{1}{36}$.
Si tabulamos las probabilidades de todos los valores posibles de $X$ juntos, obtenemos la distribución de probabilidad de $X$:
%A #[If we use the equation of the line to calculate the $y$-coordinates, we get slightly different values, called predicted values (for which we use the symbol $\hat{y}$) from the original observed values shown in the table.][Si usamos la ecuación de la recta para calcular las coordenadas-$y$, obtenemos valores, llamados valores pronosticados o predichos (para cuales usamos el símbolo $\hat{y}$) un poco distintos de los valores originales observados que se muestra en la tabla.]#
Lanzamientos de monedas
Puedes pensar en una moeda como un dado con dos lados: cara (C) y cruz (Z). Así si lanzas una moneda una vez, hay dos resultados {C, X}. Si lo lanzas dos veces, hay $2 \times 2 = 4$ resultados {CC, CZ, ZC, ZZ}. Si lo lanzas tres veces, hay $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ resultados {CCC, CCZ, CZC, CZZ, ZCC, ZCZ, ZZC, ZZZ}. En general, si lanzas una moneda $n$ veces, hay $2^n$ resultados posibles. (Una algoritmo de decisión para construir un resultado cuando se lanza $n$ monedas consiste en $n$ pasos, en cada uno de cuales hay dos opciones: C o X. Por lo tanto, el número de resultados posibles es $2 \times 2 \times \cdots \times 2$ $n$ veces). Toma $X$ para ser el número total de caras que salen. Pimero, los valores posibles de $X$ son $0, 1, 2, 3$. A continuación, calculamos la distribución de probabilidad de $X$:
Suceso de que $X = 0$ \t Suceso de que sale caras 0 veces
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados con ningunas caras
\\ \gap[20] = #[{TTT}][{ZZZ}]# \t El suceso de que $X=0$ consiste en 1 resultado.
\\ \t !3! %25 Una algoritmo de decisión para construir un resultado con 3 caras es el siguente: Comienza con tres ranuras vacíos que representan los resultados de los tres lanzamientos de la moneda. Luego selecciona 3 ranuras de las tres para colocar la C. Hay $C(3,0) = 1$ resultados posibles. (El resto de las ranuras obtienen automáticamente Zs, por lo que no hay más decisiones). \\ %Tf, $P(X = 0) = \dfrac{1}{8}$ \t 1 resultado entre el total de 8 resultados igualmente probables.
\\
\\ Suceso de que $X = 1$ \t Suceso de que sale caras una vez
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados con 1 cara \\ \gap[20] = #[{HTT, THT ,TTH}][{CZZ, ZCZ ,ZZC}]# \t El suceso de que $X=1$ consiste en 3 resultados.
\\ \t !3! %25 Una algoritmo de decisión para construir un resultado con 1 cara es el siguente: Comienza con tres ranuras vacíos que representan los resultados de los tres lanzamientos de la moneda. Luego selecciona una ranura de las tres para colocar la C. Hay $C(3,1) = 3$ resultados posibles. (El resto de las ranuras obtienen automáticamente Zs, por lo que no hay más decisiones). \\ %Tf, $P(X = 1) = \dfrac{3}{8}$ \t 3 resultados entre el total de 8 resultados igualmente probables.
\\
\\ Suceso de que $X = 2$ \t Suceso de que sale caras dos veces
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados con 2 caras \\ \gap[20] = #[{HHT, HRH ,THH}][{CCZ, CAC ,ZCC}]# \t El suceso de que $X=2$ consiste en 3 resultados.
\\ \t !3! %25 Una algoritmo de decisión para construir un resultado con 2 caras es el siguente: Comienza con tres ranuras vacíos que representan los resultados de los tres lanzamientos de la moneda. Luego selecciona 2 ranuras de las tres para colocar la C. Hay $C(3,2) = 3$ resultados posibles. (La ranura faltante obtiene automáticamente un Z, por lo que no hay más decisiones). \\ %Tf, $P(X = 2) = \dfrac{3}{8}$ \t 3 resultados entre el total de 8 resultados igualmente probables.
\\
\\ Suceso de que $X = 3$ \t Suceso de que sale caras tres veces
\\ \gap[20] $=$ Conjunto de todos los resultados con 3 caras \\ \gap[20] = #[{HHH}][{CCC}]# \t El suceso de que $X=3$ consiste en 1 resultado.
\\ \t !3! %25 Una algoritmo de decisión para construir un resultado con 3 caras es el siguente: Comienza con tres ranuras vacíos que representan los resultados de los tres lanzamientos de la moneda. Luego selecciona 3 ranuras de las tres para colocar la C. Hay $C(3,3) = 1$ resultados posibles. \\ %Tf, $P(X = 3) = \dfrac{1}{8}$ \t 1 resultado entre el total de 8 resultados igualmente probables.
Ahora pretenda que estás lanzando una moneda %30 veces, y toma $X$ para ser el número total de %33 que salen. Hay entonces $2^{%30}=%32$ resultados posibles:
Usar frecuencias para obtener la distribución de probabilidad
A veces, solo podemos estimar la probabilidad de cada valor de $X$ utilizando las frecuencias relativas. Recuerde que obtenemos la frecuencia relativa de un suceso al dividir su frecuencia entre el número total de veces que se realiza el experimento. (¿Deseas repasar?) Aquí hay un exemplo: Una encuesta de centros comerciales seleccionados al azar da los siguientes datos sobre la cantidad de pantallas de películas que contienen:Clases de medición
El número de transacciones de acciones en línea del lunes en OHaganBolsaCorredor.com (una subsidiaria de oHaganBooks.com) se midió durante %57 lunes consecutivos, con los siguientes resultados:-
El punto medio del rango 0−99 es $\dfrac{0+99}{2} = 59.5$, que redondeamos a $50$.
El punto medio del rango 100−199 es $\dfrac{100+199}{2} = 149.5$, que redondeamos a $150$.
Ahora prueba los ejercicios en %4, algunos de los %8, o seguir al siguiente tutorial por pulsar "siguiente tutorial" ubicado a la izquierda.
Última actualización: noviembre 2018
Derechos de autor © 2017
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