Tutorial: Pruebas de Bernoulli y variables aleatorias binomial

(Se puede encontrar este tema en la Sección 9.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Recursos

La variable aleatoria binomial

%%Note Para seguir este tutorial, necesitas saber qué es una variable aleatoria. Va al %%prevsectut para revisar eso si es necesario.

En muchos experimentos solo hay dos resultados. Por ejemplo:

Lanza una moneda.
Tira un dado y determina si es un 5 o no.
Determina si hubo inundaciones este año en Puerto Vallarta.
Prueba un circuito seleccionado al azar a medida que sale de una línea de ensamblaje y determina si es defectuoso o no.
Selecciona un alumno al azar de una clase y determine si el alumno ha hecho su tarea o no.
Lanza un tiro penal en el fútbol y determina si marcas un gol.

Llamamos a este experimento un ensayo de Bernoulli y nos referimos a los dos resultados, a menudo arbitrariamente, como éxito y fracaso. Estaremos interesado en lo que sucede cuando realizamos una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli con la misma probabilidad fija $p$ de éxito cada vez. Para nuestra variable aleatoria $X$ contaremos el número de éxitos. Por ejemplo:

Lanza una moneda 10 veces; $X$ = Número de %%heads.
Tira un dado 100 veces; $X$ = Número de cincos que tiras.
Proporcionar una propiedad en Puerto Vallarta con seguro contra inundaciones por 20 años en una zona donde las inundaciones ocurren cada cinco años en promedio; $X$ es el número de años, durante el período de 20 años, durante el cual la propiedad se inunda.
Prueba 50 circuitos seleccionados al azar a medida que salen de una línea de ensamblaje en el que 1% de los circuitos son defectuosos; $X$ = Número de circuitos defectuosos.

A este tipo de variable aleatoria $X$ se llama una variable aleatoria binomial.

%%Q ¿Qué hay del ejemplo de la tarea del alumno?
%%A Supongamos, por ejemplo, que la mitad de los alumnos han hecho sus tareas y eliges dos al azar. Si el primer alumno eligido ha hecho su tarea, entonces es un poco menos probable que el segundo alumno elegido haya hecho el suyo también, ya que ha eliminado a uno de los alumnos diligentes del grupo. Por lo tanto, la probabilidad de éxito no es fija. Para que $X$ sea una variable aleatoria binomial, requerimos que la probabilidad de éxito para cada ensayo sea constante y, en particular, independiente de lo que sucedió antes. %%Q ¿Qué hay del ejemplo de los tiros penales?
%%A Eso depende. Si el tirador y/o el portero están ajustando sus técnicas a medida que avanzan los tiros de gol, entonces la probabilidad de éxito probablemente cambia, por lo que $X$ no es una variable aleatoria binomial. Para que $X$ sea una variable aleatoria binomial, requerimos que la probabilidad de éxito para cada ensayo sea constante y, en particular, independiente de lo que sucedió antes.

Variable aleatoria binomial
La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria que cuenta el número de éxitos en una secuencia de un número fijo $n$ ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad fija de éxito. Es habitual usar $p$ para denotar la probabilidad de éxito en cada prueba y $q$ para denotar la probabilidad de falla (por lo que $q = 1-p$). Los ejemplos incluyen los cuatro que hemos enumerado anteriormente.

Vídeo sugerido para este tema:Video por Academatica

%%Examples
Los ejemplos incluyen los cuatro que hemos enumerado anteriormente:

1. \t !3! Lanza una moneda 10 veces; $X$ = Número de %%heads. \\ \t $\quad n = 10; \ p = .5; \ q = .5$ \gap[40] \t #[The probability of throwing a %%head is .5][La probabilidad de tirar una %%head es .5]# \\ 2. \t !3! Tira un dado 100 veces; $X$ = Número de cincos que tiras. \\ \t $\quad n = 100; \ p = \dfrac{1}{6}; \ q = \dfrac{5}{6}$ \gap[40] \t #[The probability of rolling a six is $1/6$.][La probabilidad de tirar un seis es $1/6$.]# \\ 3. \t !3! Proporcionar una propiedad en Puerto Vallarta con seguro contra inundaciones por 20 años en una zona donde las inundaciones ocurren cada cinco años en promedio; $X$ es el número de años, durante el período de 20 años, durante el cual la propiedad se inunda. \\ \t $\quad n = 20; \ p = .2; \ q = .8$ \gap[40] \t #[The probability of flooding in a given year is 1/5.][La probabilidad de inundación en un año determinado es 1/5.]# \\ 4. \t !3! Prueba 50 circuitos seleccionados al azar a medida que salen de una línea de ensamblaje en el que 1% de los circuitos son defectuosos; $X$ = Número de circuitos defectuosos. \\ \t $\quad n = 50; \ p = .01; \ q = .99$ \gap[40] \t #[The probability of ffinding a defective circuit is 1/100.][La probabilidad de inundaci�n en un a�o determinado es 1/100.]#

Algunos para ti

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria binomial

Recuerda del %%prevsectut que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ asigna a cada valor de $X$ la probabilidad del suceso de que $X$ sea igual a ese valor. En particular, cuando $X$ es una variable aleatoria binomial, entonces $X$ mide el número de éxitos para un número dado $n$ de pruebas independientes de Bernoulli, por lo que los valores posibles de $X$ son $0, 1, 2, ..., n$. Por lo tanto, su distribución de probabilidad especifica las probabilidades de que $X = 0$, $X = 1$, ... , $X = n$.

Así, calcular la distribución de probabilidad significa calcular las siguientes probabilidades:

La probabilidad de 0 éxitos: \t $P(X = 0)$,\\ La probabilidad de 1 éxito: \t $P(X=1)$,\\ La probabilidad de 2 éxitos: \t $P(X = 2)$,\\ ... \\ La probabilidad de $n$ éxitos: \t $P(X=n)$.

La siguiente fórmula se deriva en el libro de texto. Para usarlo, debes saber cómo calcular los coeficientes binomiales $C(m, n)$ (Ve el %%combintut). Para ayudarte, prueba este Calculador pop-up de factoriales, permutaciones y combinaciones.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria binomial
Si $X$ es el número de éxitos en una secuencia de $n$ pruebas independientes de Bernoulli, entonces

$P(X=x) = C(n,x)p^xq^{n-x} \qquad$ \t

#[where][donde]#
$C(n,x)$ es el número de $x$ objetos tomados de entre $n$, a veces escrito como $\displaystyle {}_nC_x$ %%or $\binom{n}{x}$. (ve el %%combintut). También,

$n =$ número de pruebas \\ $p =$ probabilidad de éxito \\ $q =$ probabilidad de fracaso $= 1-p$

Vídeo sugerido para este tema:Video por MateFacil

%%Examples
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener %%heads exactamente dos veces si lanzas una moneda justa 6 veces?

\\ $x =$ número de éxitos $= 2$ \\ $n =$ número de pruebas $= 6$ \\ $p =$ probabilidad de éxito $= .5$ \\ $q =$ probabilidad de fracaso $= 1-p = 1-.5 = .5$

Probabilidad de obtener 2 %%heads $= P(X = 2)$ $= C(6, 2)(.5)^2(.5)^{6-2} = (15)(.25)(.0625) \approx .2344$

2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 tres veces si lanzas un dado justo cinco veces??

\\ $x =$ número de éxitos $= 3$ \\ $n =$ número de pruebas $= 5$ \\ $p =$ probabilidad de éxito $= \dfrac{1}{6}$ \\ $q =$ probabilidad de fracaso $= 1-p = 1-\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

Probabilidad de sacar un 6 tres veces $= P(X = 2)$ $\displaystyle = C(5, 3)\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5-3} = (10)\left(\dfrac{1}{216}\right)\left(\dfrac{25}{36}\right) \approx .03215$

Uno para ti

#[Using technology][El uso de la tecnología]#
Para calcular esta y otras probabilidades utilizando la tecnología, prueba nuestra Utilidad distribución binomial. Para usar para calcular, digamos, $P(X = 2)$, ingréselo como un rango al ingresar "2" en ambas cajas:

$P(\box{\ \ 2 \ \ } \leq X \leq \box{\ \ 2 \ \ })$.

Tabular toda la distribución de probabilidad

Ahora que sabemos cómo calcular las probabilidades individuales $P(X = x)$, podemos juntar todas para obtener la tabla de distribución de probabilidad completa. Aquí hay un ejemplo:

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la Sección 9.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.