Tutorial: Cardinalidad

(Se puede encontrar este tema en a Sección 6.2 del libro Matemáticas finitas o la Sección 7.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Fundamentos

Intuitivamente, la cardinalidad de un conjunto se refiere al número de elementos en el conjunto.

Cardinalidad de un conjunto finito
Si $A$ es un conjunto finito, entonces su cardinalidad es el número de elementos en el conjunto:

$n(A) = $ Número de elementos en $A$. Notación alternativa A menudo verás la cardinalidad $n(A)$ de $A$ escrita como $|A|$. Por lo tanto,

$|A| = $ Número de elementos en $A$. Sin embargo, nos limitaremos a la notación $n(A)$ aquí.

Video sugerido sobre la cardinalidad de conjuntos finitos: Video por math2me

Ejemplos

1. \t %%Let $P = \{x, y, z, t\}$. \gap[20] \t \\ \t Entonces $n(P) = 4$. \gap[40] $P$ contiene 4 elementos. \\ \t \\ 2. \t %%Let $Q = \{x \mid x \text{ es un entero negativo major que } -5 \}$. \gap[20] \\ \t Así, $Q = \{ -1, -2, -3, -4 \}$, %%and $n(Q) = 4$.

Algunos para ti

Nota #[If $A$ is not finite, then we will just say that the $A$ has infinite cardinality. (Actually, some infinite sets are "larger" than others in a very precise sense not discussed here, and sets with infinite cardinality can be assigned particular "infinite cardinal numbers."][Si $A$ no es finito, entonces diremos simplemente que el conjunto $A$ tiene cardinalidad infinita. (En realidad, algunos conjuntos infinitos son "más grandes" que otros en un sentido muy preciso que no se trata aquí, y a los conjuntos con cardinalidad infinita se les puede asignar "números cardinales infinitos" en particular.]#

Video sugerido para conjuntos con cardinalidad infinita: Video por Yolanda Campos

Los conjuntos a menudo se construyen a partir de conjuntos más simples al utilizar operaciones de conjuntos, por lo que necesitamos determinar cómo calcular la cardinalidad de objetos como uniones, intersecciones y productos cartesianos.

La cardinalidad de una unión

#[Here we consider the question: How do you calculate $n(A \cup B)$ from a knowledge of $n(A)$ and $n(B)$?][A continuación consideramos la pregunta: ¿Cómo se calcula $n(A \cup B)$ a partir de un conocimiento de $n(A)$ y $n(B)$?]#

%%Q #[That's easy! $A \cup B$ is obtained by combining the elements of $A$ and $B$, so $n(A \cup B)$ should equal $n(A) + n(B)$, right?][¡Eso as fácil! $A \cup B$ se obtiene combinando los elementos de $A$ y $B$, por lo que $n(A \cup B)$ debe ser igual a $n(A) + n(B)$, ¿verdad?]#
%%A #[Not quite! What if $A$ and $B$ have elements in common? Then adding $n(A)$ and $n(B)$ would count those elements twice! For instance, take][¡No exactamente! ¿Qué pasa si $A$ y $B$ tienen elementos en común? Luego, ¡sumar $n(A)$ y $n(B)$ contaría esos elementos dos veces! Por ejemplo, sea]#

#[Then $A \cup B = \{a,b,c,d,e\}$ has only 5 elements, whereas $n(A) = n(B) = 4 + 4 = 8$. The reason the sum gives the wrong answer is that it counts the three elements in $A \cap B = \{b, c, d\}$, twice, so to correct the answer we need to subtract this number:][Entonces $A \cup B = \{a,b,c,d,e\}$ tiene solo 5 elementos, mientras que $n(A) = n(B) = 4 + 4 = 8$. La razón por la que la suma da la respuesta incorrecta es que cuenta los tres elementos en $A \cap B = \{b, c, d\}$, dos veces, por lo que para corregir la respuesta necesitamos restar este número:]#

$n(A \cup B)$ \t ${}= 4 + 4 - 3$ \t #[Add $n(A)$ to $n(B)$ and then subtract $n(A \cap B)$][Sumar $n(A)$ y $n(B)$ y luego restar $n(A \cap B)$]#. \\ \t ${}= n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

#[and we have discovered a formula for the cardinailty of the union of two sets!][y ¡hemos descubierto una fórmula para la cardinalidad de la unión de dos conjuntos!]#

Cardinalidad de una unión
Si $A$ y $B$ son conjuntos finitos, entonces

Cardinalidad de una unión

Caso especial: Si $A$ y $B$ son conjuntos desunidos (es decir, $A \cap B = \emptyset$), entonces

Cardinalidad de una unión desunida

#[Note][Nota]# Podemos reescribir la fórnula para una unión por despejar a $n(A \cap B)$:

Cardinalidad de una intersección

Video sugerido sobre la cardinalidad de una unión: Video por MatematicaPasoAPaso.com

Ejemplos

1. %%Let $A = \{a,b,c,d\}$ and $B = \{b,c,d,e\}$. Entonces

$n(A \cup B)$ \t ${}= n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ \\ \t ${}= 4 + 4 - 3 = 5$.

2. %%Let $A = \{a,b,c,d\}$ and $B = \{e,f,g\}$. Entonces $A$ y $B$ son desunidos, y

$n(A \cup B)$ \t ${}= n(A) + n(B)$ \\ \t ${}= 4 + 3 = 7$.

3. %%If $n(A) = 6, n(B) = 7,$ %%and $n(A \cup B) = 12$, %%then

$n(A \cap B)$ \t ${}= n(A) + n(B) - n(A \cup B)$ \\ \t ${}= 6 + 7 - 12 = 1$.

#[Visualizing the cardinality of a union][Visualizar la cardinalidad de una unión]#:

#[Not disjoint][No desunidos]#:

$A = \{a,b,c,d\}$ and $B = \{b,c,d,e\}$.

$n(A) = 4; \quad n(A \cap B) = 3; \quad n(B) = 4 $
$n(A \cup B) = 4 + 4 - 3 = 5$

#[Disjoint][Desunidos]#:

$A = \{a,b,c,d\}$ and $B = \{e,f,g\}$.

$n(A) = 4; \quad n(A \cap B) = 0; \quad n(B) = 3$
$n(A \cup B) = 4 + 3 = 7$

Algunos para ti

La cardinalidad de un complemento

#[In the %%prevsectut we saw that the complement $A'$ of the set $A$ is the set of all elements in a designated universal set* $S$ not in $A$.][En el %%prevsectut vimos que el complemento $A'$ del conjunto $A$ es el conjunto de todos los elementos en un designado conjunto universal* $S$ no en $A$.]#
* #[In %%prevsectut we took $S$ to consist of all the elements in the sets under discussion.][En %%prevsectut tomamos $S$ para consistir en todos los elementos en los conjuntos baja consideración.]#

Cardinalidad de un complemento
Si $S$ es un conjunto finito unversal y $A$ es un subconjunto de $S$, entonces

$n(A\prime) = n(S) - n(A)$. #[Equivalently][Equivalentemente]#,

$n(A) = n(S) - n(A\prime)$.

Ejemplos

1. %%Let $S = \{a,b,c,d\}$ %%and $A = \{a,b,c\}$. Entonces

$n(A\prime) = n(S) - n(A) = 4 - 3 = 1$.

#[Visualizing the cardinality of a complement][Visualizar la cardinalidad de un complemento]#:

$S$

$\overbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}$

$S = \{a,b,c,d\} \quad A = \{a, b, c\}$
$n(A\prime) = n(S) - n(A) = 4 - 3 = 1$.
$n(A) = n(S) - n(A\prime) = 4 - 1 = 3$.

2. #[In a box of 50 pieces of chocolate, 20 contain Turkish delight ($T$), 12 use use dark chocolate ($D$), and 6 either contain Turkish delight or use dark chocolate. How many neither contain Turkish delight nor use dark chocolate?][En una caja de 50 piezas de chocolate, 20 contienen delicias turcas ($T$), 12 usan chocolate oscuro ($D$) y 6 contienen delicias turcas o usan chocolate oscuro. ¿Cuántos no contienen delicias turcas ni usan chocolate oscuro?]#
#[Answer][Respuesta]# #[The number that neither contain Turkish delight nor use dark chocolate is][El número que no contienen delicias turcas ni usan chocolate oscuro es]#

$n(T \cup D)' = n(S) - n(T \cup D)$.

#[Here][Aquí]#, $n(S) = 50$, #[and][y]# $n(T \cup D) = n(T) + n(D) - n(T \cap D) = 20 - 12 - 6 = 26$. Thus

$n(T \cup D)' = 50 - 26 = 24$.

Algunos para ti

La cardinalidad de un producto cartesiano

Para hallar una fórmula para $n(A \times B)$, consideramos el siguiente ejemplo simple que vimos en el %%prevsectutb: %%Let $A = \{a,b\}$ %%and $B = \{1,2,3\}$, Entonces

$A \times B = \{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$. Visualizamos este producto como la siguiente cuadrícula $2 \times 3$:

Así concluimos que el número de elementos en el producxto es $n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$. En general:

Cardinalidad de un producto cartesiano
Si $A$ y $B$ son conjuntos finitos, entonces

$n(A \times B) = n(A)n(B)$.

Video sugerido para la cardinalidad de productos cartesianos: Video por MateFacil

Ejemplos

%%Let $A = \{a,b\}$ %%and $B = \{1,2,3\}$. Entonces
$n(A \times B) = n(A)n(B) = 2 \times 3 = 6$.
En el %%prevsectutb vimos que, si un experimento consta de dos pasos con conjuntos de resultados individuales $A$ para el primer paso y $B$ para el segundo, entonces el conjunto de resultados para el experimento de dos pasos es $A \times B$. Por lo tanto, el número de resultados posibles en dicho experimento es $n(A \times B) = n(A)n(B)$. Esta observación se conoce como el principio de multiplicación del cual aprenderemos más en el %%nextsectut.
En particular (ve el %%prevsectutb) si lanzamos una moneda dos veces seguidos, observando qué lado mira hacia arriba cada vez, entonces el conjunto de resultados posibles es $S = \{$%%H, %%T$\} \times \{$%%H, %%T$\}$. Por lo tanto, el número de resultados posibles es

Algunos para ti

Ahora prueba algunos de los ejercicios en la Sección 7.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.