Tutorial: La regla de la cadena
Este tutorial: Parte A: La regla de la cadena: Básicos
(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.4 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
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Calentamiento: El experimento mental de cálculo
#[Let us start with a quick review and quiz on using the "Calculation Thought Experiment (CTE)" discussed in the %%prevsectut:][Empecemos con un repaso y concurso rápido sobre el uso del "Experimento mental de cálculo (EMC)" descrito en el %%prevsectut:]#
Experimento mental de cálculo (EMC)
El experimento mental de cálculo es una técnica para determinar si se trata una expresión algebraica como un producto, cociente, suma, diferencia, o potencia:
-
Dada una expresión, considera las operaciones que darías en calcular su valor al seguir el orden estándar de operaciones.* Si la ultima operación es una multiplicación, trata la expresión como un producto; si la última operación es una división, trata la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva.
%%Examples
1. $(3x^2- 4)(2x+1)$ se calcula primero calculando las expresiones entre paréntesis y luego multiplicándolas. Como el último paso es multiplicación, tratamos la expresión como un producto. Por lo tanto, usamos la regla del producto para calcular su derivada.
2. $(3x^2- 4)(2x+1)$ se calcula primero calculando las expresión entre paréntesis y luego multiplicando por $-7$, entonces también es un producto, y en particular un múltiplo constante ya que estamos multiplicando por el constante $-7$. Por lo tanto, podemos calcular su derivada usando la regla para múltiples constantes más fácilmente que usando la regla del producto.
3. $\dfrac{2x-1}{x}$ se calcula calculando primero el numerador y el denominador por separado, y luego dividiendo uno por el otro. Como el último paso es división, tratamos la expresión como un cociente, y por lo tanto, al calcular su derivada, usamos la regla del cociente.
4. $(4x-1)(x+2) + x^2$ se calcula calculando el producto $(4x-1)(x+2)$, luego calculando $x^2$, y finalmente sumando las dos respuestas. Como el último paso es sumar, tratamos la expresión como una suma, y por lo tanto, usamos la regla para sumas para calcular su derivada.
5. $(3x^2-1)^5$ se calcula calculando la expresión entre parénteses, y luego elevar la respuesta al quinto potencia. Como el último paso es elevar a una potencia, tratamos la expresión como una potencia. A continuación vemos como tomar las derivadas de potencias de funciones aparte de $x$. Algunos para ti
3. $\dfrac{2x-1}{x}$ se calcula calculando primero el numerador y el denominador por separado, y luego dividiendo uno por el otro. Como el último paso es división, tratamos la expresión como un cociente, y por lo tanto, al calcular su derivada, usamos la regla del cociente.
4. $(4x-1)(x+2) + x^2$ se calcula calculando el producto $(4x-1)(x+2)$, luego calculando $x^2$, y finalmente sumando las dos respuestas. Como el último paso es sumar, tratamos la expresión como una suma, y por lo tanto, usamos la regla para sumas para calcular su derivada.
5. $(3x^2-1)^5$ se calcula calculando la expresión entre parénteses, y luego elevar la respuesta al quinto potencia. Como el último paso es elevar a una potencia, tratamos la expresión como una potencia. A continuación vemos como tomar las derivadas de potencias de funciones aparte de $x$. Algunos para ti
Introducción a la regla de la cadena
%%Q Entonces, ¿de qué se trata exactamente la regla de la cadena?%%A Aquí está un ejemplo: Sabemos que la derivada de $x^3$ es $3x^2$. ¿Qué, entonces, dirías es la derivada de algo más complicado elevado al tercer potencia, como por ejemplo $(2x + 3x^4)^3$? %%Q ¡Obviooo! Es solo $3(2x + 3x^4)^2$.
%%A No, no lo es; la regla de la potencia se aplica solo a potencias de $x$, y no a potencias de cosas más complicadas. En este ejemplo, puedes calcular la derivada expandiendo primero
$(2x+3x^4)^3 = (2x+3x^4)(2x+3x^4)(2x+3x^4) = 8x^3+36x^6+54x^9+27x^12$
y luego tomando la derivada usando la regla de poder en cada término.
%%Q OK entonces; ¿Qué tal de $(2x + 3x^4)^{100}$? ¿Realmente se espera expandir eso solo para calcular su derivada?%%A Por suerte para nosotros, no; y es la regla de la cadena la que nos dice cómo calcular rápida y fácilmente las derivadas de expresiones como esa.En lo que sigue, piensa en, por ejemple $(2x + 3x^4)^{100}$, como $u^{100}$, donde $u$ es el "interior:" $u = 2x+3x^4$.
Regla de la cadena
Si $u$ es una función diferenciable de $x$, y $f$ es una función diferenciable de $u$, entonces $f$ es una función diferenciable de $x$, y:
$\displaystyle \frac{d}{dx}[f(u)] = f'(u) \frac{du}{dx}$
Regla de la cadena en palabras:
La derivada de $f$ de una cantidad es la derivada de $f$, evaluada en esa cantidad (original), por la derivada de la cantidad.
%%Examples
\\ \t \t $\displaystyle {}=3(1+x^2)^2 \cdot 2x$
\\ \t \t $\displaystyle {}=6x(1+x^2)^2$
1. \gap[20] \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[u^3] = 3u^2 \frac{du}{dx}$ \gap[30] #[Chain rule with][Relga de la cadena con]# $f(x) = x^3$
La derivada de una cantidad al cubo es igual a 3 veces la cantidad (original) al cuadrado, por la derivada de la cantidad.
Ej
\t $\displaystyle \frac{d}{dx}[\color{indianred}{(2x + 3x^4)}^3]$ \t $\displaystyle {}= 3\color{indianred}{(2x + 3x^4)}^2 \frac{d}{dx}\color{indianred}{(2x + 3x^4)}$
$\dfrac{d}{dx}\text{(cantidad)}^3 = 3\text{(cantidad)}^2\dfrac{d}{dx}\text{(cantidad)}$
2. \gap[20] \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[u^n] = nu^{n-1} \frac{du}{dx}$ \gap[30] Relga de la cadena con $f(x) = x^n$
Regla de la potencia generalizada: La derivada de una cantidad elevada a la potencia n es igual a n veces la cantidad (original), por la derivada de la cantidad.
Ej
\t $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2}{\color{indianred}{(-x+x^3)}^3}\right]$ \t $\displaystyle {}= \frac{d}{dx}\left[2\color{indianred}{(-x+x^3)}^{-3}\right]$
#[Converted to %%powerform][Convertido en %%powerform]#
$\displaystyle {}=(2)(-3)\color{indianred}{(-x+x^3)}^{-4}\frac{d}{dx}\color{indianred}{(-x+x^3)}$
$\dfrac{d}{dx}\text{(cantidad)}^{-3} = -3\text{(cantidad)}^{-4}\dfrac{d}{dx}\text{(cantidad)}$
3. \gap[20] \t $\dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\dfrac{du}{dx}$ \gap[30] Relga de la cadena con $f(x) = \sqrt{x}$
La derivada de la raíz cuadrada de una cantidad es 1 sobre dos veces la cantidad (original), por la derivada de la cantidad.
Ej
\t $\displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{\color{indianred}{x^2-1}}$ \t $\displaystyle {}=\frac{1}{2\sqrt{\color{indianred}{x^2-1}}}\frac{d}{dx}\color{indianred}{(x^2-1)}$
$\dfrac{d}{dx}\sqrt{\text{cantidad}} = \frac{1}{2\sqrt{\text{cantidad}}}\dfrac{d}{dx}(\text{cantidad})$
4. \gap[20] \t $\dfrac{d}{dx}|u| = \dfrac{|u|}{u}\dfrac{du}{dx}$ \gap[30] Relga de la cadena con $f(x) = |x|$
La derivada del valor absoluto de una cantidad es el valor absoluto de la cantidad (original) sobre la cantidad, por la derivada de la cantidad.
Ej
\t $\displaystyle \frac{d}{dx}|\color{indianred}{4x-5}|$ \t $\displaystyle {}=\frac{|\color{indianred}{4x-5}|}{\color{indianred}{4x-5}}\frac{d}{dx}\color{indianred}{(4x-5)}$
$\dfrac{d}{dx}|\text{cantidad}| = \dfrac{|\text{cantidad}|}{\text{cantidad}}\dfrac{d}{dx}(\text{cantidad})$
Combinar las reglas de derivación
%%Q ¿Cómo tratamos con expresiones más complicadas que son combinaciones de productos o cocientes pero que también parecen requerir la regla de la cadena, como
-
$\displaystyle y = \left(\frac{x^2}{x-1} + \sqrt{3x^2-1}\right)^4$?
Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.4 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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