Tutorial: La regla de la cadena

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Este tutorial: Parte B: Regla de cadena y notación de Leibniz

(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.4 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Repaso de la notación d de Leibniz

Si $y = f(x)$, hemos usado la notación $f'(x)$ o $y'(x)$ para la derivada de $y$ en $x$ y también, en el %%partAtut y el %%powerruletut, también usamos la "notación diferential" $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$. Hay otra notación relacionada con la notación diferential: recuerde del %%averratetut que podemos escribir la razón promedio de cambio de $y$ durante el intervalo $\Delta x$ como

Razón promedio de cambio = $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$. \t \gap[40] $\displaystyle \frac{\text{Cambio en }y}{\text{Cambio en }x}$

A medida que usamos valores cada vez más pequeáos para $\Delta x$, nos acercamos a la razón instantáneo de cambio, o derivada, para la cual también tenemos la notacián $\dfrac{dy}{dx}$, debido a Leibniz:

Razón instantáneo de cambio = $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}$.

Es decir, $\dfrac{dy}{dx}$ es solo otra notación para $y'(x)$. No pienses en $\dfrac{dy}{dx}$ como un cociente real de dos números: recuerde que usamos un cociente real $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ solo para aproximar el valor de $\dfrac{dy}{dx}$.

%%Q Si $\dfrac{dy}{dx}$ no debe pensarse como un cociente, ¿por qué se escribe asá?
%%A Originalmente, el propio Lebniz lo definió como un cociente real; no de números reales, sino de números infinitamente pequeños: $dy$ y $dx$ fueron cambios infinitamente pequeños en $x$ y $y$. Sin embargo, la teoría de los números infinitamente pequeños no era matemáticamente rigurosa (aunque se ha hecho riguroso más recientemente) y fue reemplazada por la noción de límites tal como la usamos ahora.

Regla de la cadena en la notación d de Leibniz

Regla de la cadena (notación de Leibniz)

Si $y$ es una función diferenciable de $u$, y, a su vez, $u$ es una función diferenciable de $u$, entonces $y$ es una función diferenciable de $x$, y:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ \gap[30] \t Observa cómo las "cantidades" $dx$ parecen cancelar.

%%Examples

1. %%If $y = u^3$ %%and $u = 2x + 3x^4$, %%then

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ \t $\displaystyle {}= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ \gap[30] \t $y$ es una función de $u$ y $u$ es una función de $x$. \\ \t $\displaystyle {}= 3u^2(2+12x^3)$ \\ \t $\displaystyle {}= 3(2x + 3x^4)^2(2+12x^3)$ \gap[30] \t Sustituya para $u$ para expresar la respuesta en términos de $x$.

La derivada de una cantidad al cubo es igual a 3 veces la cantidad (original) al cuadrado, por la derivada de la cantidad.

2. %%If $A = \pi r^2$ %%and $r = 3t+1$, %%then

$\displaystyle \frac{dA}{dt}$ \t $\displaystyle {}= \frac{dA}{dr} \frac{dr}{dt}$ \gap[30] \t $A$ es una función de $r$ y $r$ es una función de $t$. \\ \t $\displaystyle {}= 2\pi r(3) = 6\pi r$ \\ \t $\displaystyle {}= 6\pi (3t+1)$ \gap[30] \t Sustituya para $r$ para expresar la respuesta en términos de $t$.

Si el radio de un disco cambia con el tiempo $t$ de acuerdo con $r = 3t + 1$, entonces, ¿qué tan rápido cambia el área? Respuesta: $6\pi (3t + 1)$.

3. Se infla un globo esférico de tal manera que su radio después de $t$ segundos es $r = t^{1/3}$ cm. ¿Qué tan rápido está aumentando el volumen?

Estamos hallando la razón de cambio del volumen $V$, $\dfrac{dV}{dt}$, dado que su radio es $r = t^{1/3}$. También sabemos que el volumen de un esfero se da por $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, dándonos $V$ como función de $r$. Así,

$\displaystyle \frac{dV}{dt}$ \t $\displaystyle {}= \frac{dV}{dr} \frac{dr}{dt}$ \gap[30] \t $V$ es una función de $r$ y $r$ es una función de $t$. \\ \t $\displaystyle {}= 4\pi r^2\left(\frac{2}{3t^{2/3}}\right)$ \\ \t $\displaystyle {}= 4\pi t^{2/3}\left(\frac{2}{3t^{2/3}}\right)$ \gap[30] \t Sustituya para $r$ para expresar la respuesta en términos de $t$. \\ \t $\displaystyle {}= \frac{8}{3} \pi$ cm³/#[second][segundo]#. \t Simplifica.

Manipulación de derivados en notación diferencial

Aunque nosotros, y muy probablemente tus instructores de cálculo, te hemos dicho repetidamente que $\dfrac{dy}{dx}$ no es una fraccián (¡a pesar de que el propio Leibniz lo consideró una fracción!) La regla de la cadena

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ sugiere que ciertamente se comporta como si fuera una fraccián aán más cuando miramos algunas consecuencias de la regla de la cadena!

Manipulación de derivados en notación diferencial

Supongamos que $y$ es una funcián de $x$. Luego, pensando en $x$ como una funcián de $ y $ (como, por ejemplo, cuando podemos despejar a $x$), tenemos

$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\Bigl(\dfrac{dy}{dx}\Bigr)}$, provided that $\dfrac{dy}{dx} \neq 0$.

Observa nuevamente cámo $\dfrac{dy}{dx}$ se comporta como una fraccián.

Supongamos que $y$ y $x$ son funciones de $t$. Luego, pensando en $y$ como una funcián de $x$ (como, por ejemplo, cuando podemos despejar a $t$ como una funcián de $x$ y, por lo tanto, obtener $y$ como una funcián de $x$), tenemos

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$, provided that $\dfrac{dx}{dt} \neq 0$.

Los términos $dt$ parecen cancelarse.

%%Examples

1. %%If $y = -3x + 6$, %%then $\dfrac{dy}{dx} = -3$. %%Therefore,

$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\Bigl(\dfrac{dy}{dx}\Bigr)} = -\dfrac{1}{3}$. 2. %%If $x = 4-2t$ and $y = t^2$, %%then

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{2t}{-2} = -t$. Como estamos pensando en $y$ como una funcián de $x$ en lugar de $t$, tambián nos gustaráa tener la respuesta en tárminos de $x$. Resolver la primera ecuacián dada $x = 4-2t$ para $t$ da $t = \dfrac{4-x}{2}$, entonces

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4-x}{2} = \dfrac{x-4}{2}$.

Algunos para ti

Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.4 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.4 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.