Tutorial: La derivada: enfoque algebraico

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(Se puede encontrar este tema en a Sección 3.6 del libro Cálculo aplicado o la Sección 10.6 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#

%%Q Hasta ahora, todo lo que hemos estado haciendo es aproximar la derivada de una función usando enfoques numéricos y gráficos. ¿Hay alguna manera de calcularla exactamente?
%%A Cuando la función se especifica algebraicamente, podemos calcular el valor exacto de la derivada usando un enfoque algebraico, que mostramos aquí.

El enfoque algebraico es bastante sencillo: en lugar de restar números para estimar la razón promedio de cambio en intervalos cada vez más pequeños, restamos expresiones algebraicas usando la definición de la derivada en un punto $x = a$ en términos del cociente de diferencia

$\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \qquad$ La derivada es el límite del cociente de diferencias.

Vamos a hacer el cálculo a través de un ejemplo:

El cálculo anterior da $f'(x)$ en #[a particular value of $x$][un valor particular de $x$]# #[for the function given. ][para la dada función. ]# Sin embargo, no hay nada especial en este valor de $x$. Vimos en el %%prevsectutc cómo pensar en la derivada $f'$ como una función: la función derivada:
Lo que hemos calculado anteriormente es el valor de la función derivada $f'$ en un $x$ particular. Pero también podemos usar la misma técnica para darnos una fórmula para $f'(x)$ por calcularla en un $x$ general:

Vimos en el %%prevsectut que, si $f$ es una función del tiempo $t$ (como, por ejemplo, la altura de un vehículo de lanzamiento) entonces su derivada $f'$ do la velocidad de $f$ (por ejemplo, la velocidad del vehículo de lanzamiento).

Ahora repitamos el método anterior con una función que no sea cuadrática.

Veamos una función muy especial: $f(x) = |x|$, cuya gráfica se muestra a continuación. Su derivada es

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|x + h| - |x|}{h} $.

Ahora usamos un truco: multiplica la parte superior e inferior por el "conjugado": $|x + h| + |x|$, del numerador: * Si $x = 0$, la expresión anterior es $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2(0) + h}{|0+h| + |0|} = \lim_{h \to 0}\frac{h}{|h|}$, que no existe.

y ¡hemos hallado una fórmula para la derivada de $|x|$! %%Note

• Cuando $x$ es positiva, $|x| = x$, así $f'(x) = \dfrac{x}{x} = 1$, consistente con el hecho de que el lado derecho de la gráfica anterior tiene una pendiente 1.
• Cuando $x$ es negativa, $|x| = -x$, por lo que $f'(x) = \dfrac{x}{-x} = -1$, consistente con el hecho de que el lado izquierdo de la gráfica anterior tiene una pendiente $-1$.
• Cuando $x = 0$, $\dfrac{x}{|x|}$ no está definido, y como vimos anteriormente, el límite que define el derivado no existe, lo que significa que $f'(0)$ no existe.