Tutorial: Límites: y continuidad
Este tutorial: Parte A: Cálculo de límites algebraicamente
(Se puede encontrar este tema en la Sección 10.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
Límites y funciones de forma cerrada
#[Consider the following limit:][Considera el siguiente límite:]#
$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x}{4x + 3}.$
Si estimas este límite %%numerically o %%geometrically, veriguarás que
$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x}{4x + 3} \approx -0.1818.$
Sin embargo, nota que puedes obtener este resultado, o un resultado aún más precisa, simplemente por sustituir $x = 2$ en la dada función:
$f(x) = \dfrac{x^2 - 3x}{4x + 3}$
\\ $f(2) = \dfrac{4 - 6}{8 + 3} = -\dfrac{2}{11} = -0.181818...$
Este resultado no solo es más precisa que la que proviene del método numérico o gráfico, sino que de hecho proporciona el límite exacto.
#[Q][P]#: ¿Eso es todo lo que hay que hacer para evaluar límites algebraicamente: simplemente sustituir el número al que se acerca $x$ en la expresión dada?#[A][R]#: Podríamos hacer eso en el caso anterior por dos razones:
- la función cuyo límite estamos tomando está especificada por una única fórmula "agradable", y
- el número al que se acerca $x$ está en el dominio de la función: al sustituirla resulta un número real.
Funciones de forma cerrada
Una función $f$ se escribe en forma cerrada si $f(x)$ se especifica combinando constantes, potencias de $x$, funciones exponenciales, radicales, logaritmos, valores absolutos, funciones trigonométricas (y ciertas otras funciones) en una fórmula matemática única mediante las operaciones aritméticas habituales y la composición de funciones. Una función de forma cerrada es cualquier función que se puede escribir en forma cerrada.
Ejemplos
- #[The functions][Las funciones]# $f(x) = 2x^2 - 7x + \dfrac{3 - x^2}{x}$, $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{6x + 4}$, #[and][y]# $h(x) = e^{-4x^2-2}$ #[are all closed-form functions.][son todas funciones de forma cerrada.]#
-
#[The function][La función]#
#[is not closed form because $f(x)$ is not expressed by a single mathematical formula, and nor can it be expressed in such a way.][no es una forma cerrada porque $f(x)$ no se expresa mediante una fórmula matemática única, y tampoco se puede expresar de esa manera.]#
#[Theorem C: Limits of closed form functions][Teorema C: Límites de funciones de forma cerrada]#
#[If $f$ is a closed-form function and $f(a)$ is defined, then $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ exists, and equals $f(a).$][Si $f$ es una función de forma cerrada y $f(a)$ está definida, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ existe y es igual a $f(a).$]#
Ejemplos
- $f(x) = \dfrac{2x^2+7x+3}{x + 3}$ es una función de forma cerrada y $2$ es en el dominio de $f$. Así:
$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2x^2+7x+3}{x+3} = f(2) = \frac{25}{5} = 5$.
- Ya que $-1$ es también en el dominio de $f$,
$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x^2+7x+3}{x+3} = f(-1) -\frac{-2}{2} = -1$.
- Sin embargo,$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2x^2+7x+3}{x+3}$ no se puede hallar por sustitución, ya que $-3$ no es en el dominio de $f$.
Límites en puntos singulares
Echemos otro vistazo a uno de los límites anteriores que no pudimos calcular por sustitución::
$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2x^2+7x+3}{x+3}$.
Sustitución no funciona porque $-3$ no está en el dominio $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x}{x + 3}$. Dicho de otra manera, sustituir $x = -3$ da como resultado $0/0$, lo que no tiene sentido como un número real: la función $f$ es singular en $-3$: Esto significa que $f$ no está definido en $-3$ aunque está definido para valores cercanos (observamos puntos singulares geométricamente en %%geometriclimitstut).:
#[Q][P]#: Entonces, ¿cómo hacemos que calculamos límites como ese?#[A][R]#: #[One way that often works is to remove the singularity by modifying the function by cancellation so as to result in a new closed-form function that is no longer singular at that point:][Una forma que suele funcionar es eliminar la singularidad modificando la función por cancelación para que resulte en una nueva función de forma cerrada que ya no es singular en ese punto:]#
$\dfrac{2x^2+7x+3}{x+3}$ \t ${}= \dfrac{(2x+1)\color{blue}{(x+3)}}{\color{blue}{x+3}}$ \t #[Singular at][Singular en]# $x=-3$
\\ \t ${}= 2x+1 \quad (x \ne -3)$ \t #[Not singular at][Nosingular en]# $x=-3$
#[The singularity is gone! We have sneakily changed the function to a new one that is no longer singular. When $x \ne -3$ these two functions are the same, so their limits as $x \to -3$ agree; mathematically, the limit depends only on what is happening near $x = -3$. Thus,][¡La singularidad se ha ido! Hemos cambiado furtivamente la función a una nueva que ya no es singular. Cuando $x \ne -3$ estas dos funciones son iguales, entonces sus límites como $x \to -3$ concuerdan; matemáticamente, el límite depende solo de lo que sucede cerca de $x = -3$. De este modo,]#
$\displaystyle \lim_{x \to -3}\dfrac{2x^2+7x+3}{x+3}$ \t ${}= \lim_{x \to -3}\dfrac{(2x+1)\color{blue}{(x+3)}}{\color{blue}{x+3}}$
\\ \t $\displaystyle {}= \lim_{x \to -3}2x+1$
\\ \t ${}= 2(-3) + 1 = -5$ \t $2x+1$ #[is closed form with $-3$ in its domain][es de forma cerrada con $-3$ en su dominio]#
Formas determinadas e indeterminadas
Observe algo sobre los límites que calculamos anteriormente al cancelar para eliminar las singularidades: en cada uno de ellos, si hubiéramos sustituido $x$ en el punto singular sin cancelar, habríamos obtenido $0/0$ ya que tanto el numerador como el denominador tienen el valor $0$ en el punto singular. Sin embargo, en cada caso obtuvimos un límite diferente. Además, hay instancias como esta donde el límite no existe o es infinito
$\displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{2x^2+7x+3}{x+3} = -5 \quad$ \t #[The example we did above][El ejemplo hicimos arriba]# \\ #[Substituting][Sustituir]# $x = -3$ #[results in][resulta en]# $\dfrac{0}{0}$.
\\ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3} = \infty$ \t #[Cancelling an $x$ gives $\dfrac{1}{x^2}$ which gets large positive without bound a $x \to 0$.][Cancelar un $x$ da $\dfrac{1}{x^2}$ que se vuelve positivo grande sin límite a $x \to 0$.]#. \\ #[Substituting][Sustituir]# $x = 0$ #[results in][resulta en]# $\dfrac{0}{0}$.
\\ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ #[does not exist.][no existe.]# \t #[For positive $x$ the fraction is $1$, and for negative $x$ it is $-1$.][Para $x$ positivo la fracción es $1$, y para $x$ negativo es $-1$.]#. \\ #[Substituting][Sustituir]# $x = 0$ #[results in][resulta en]# $\dfrac{0}{0}$.
#[These examples suggest that the expression $0/0$ tells us nothing at all about the behavior of the limit, and for this reason we call $0/0$ an indeterminate form.][Estos ejemplos sugieron que la expresión $0/0$ no nos dice nada sobre el comportamiento del límite, y por esta razón llamamos a $0/0$ una forma indeterminada.]#
#[If substituting $x = a$ yields the indeterminate form $0/0$, then you know absolutely nothing about the limit—even whether it exists or not. To determine what is going on, you need to simplify the function or do some kind of further analysis.][Si la sustitución $x = a$ te da la forma indeterminada 0/0, sabes nada en absoluto acerca del límite—ni siquiera sí o no existe. Para determinar lo que está pasando, debes simplificar la función o hacer cualquier tipo de análisis adicional.]#
#[Q][P]# #[What if we end up with something else, like 3/0?][¿Y si nos queda otra cosa, como 3/0, qué?]#
#[A][R]# #[Think about what happens when you divide a nonzero number (such as −3) by a number very close to zero (such as 0.000001). The result is number with very large absolute value (such as $\frac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). It is for this reason that expression $k/0$ (where $k$ is nonzero) is referred to as a determinate form, as it always gives a definite answer for the limit:][Piensa en lo que resulta cuando dividas un número distinto de cero (como −3) por un número muy cercano a cero (como 0.000001). El resultado es entonces un número con valor absoluto muy grande (como $\frac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). Es por eso que referimos a la expresión $k/0$ (en la que $k$ es distinto de cero) como una forma determinada, ya que nos siempre de una respuesta definida para el límite:]#
#[A][R]# #[Think about what happens when you divide a nonzero number (such as −3) by a number very close to zero (such as 0.000001). The result is number with very large absolute value (such as $\frac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). It is for this reason that expression $k/0$ (where $k$ is nonzero) is referred to as a determinate form, as it always gives a definite answer for the limit:][Piensa en lo que resulta cuando dividas un número distinto de cero (como −3) por un número muy cercano a cero (como 0.000001). El resultado es entonces un número con valor absoluto muy grande (como $\frac{-3}{0.000001} = -3,000,000$). Es por eso que referimos a la expresión $k/0$ (en la que $k$ es distinto de cero) como una forma determinada, ya que nos siempre de una respuesta definida para el límite:]#
La forma determindad k/0
Si la sustitución $x = a$ en la función $f$ nos da $k/0$ con $k \ne 0$, entonces
a. Si $f(x)$ es positiva cuando $x \to a$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty$.
b. Si $f(x)$ es negativa cuando $x \to a$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.
c. Si $f(x)$ tiene valores positivos y también negativos cuando $x \to a$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ no existe.
b. Si $f(x)$ es negativa cuando $x \to a$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.
c. Si $f(x)$ tiene valores positivos y también negativos cuando $x \to a$, entonces $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ no existe.
Ejemplos
acercándose a 1 ↓ | ||
| 1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ | $\color{blue}{\dfrac{1}{0^+}=\infty}$ | |
↑ acercándose a 0+ | ||
| Dividir 1 por un número positivo muy cercano a 0 resulta en un gran número positivo. | ||
acercándose a 4 ↓ | ||
| 2. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{3x - 2}{(x - 2)^2} = \infty$ | $\color{blue}{\dfrac{4}{0^+}=\infty}$ | |
↑ acercándose a 0+ | ||
| Dividir 4 por un número positivo muy cercano a 0 resulta en un gran número positivo. | ||
acercándose a 4 ↓ | ||
| 3. $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{3x - 2}{x - 2} = -\infty$ | $\color{blue}{\dfrac{4}{0^-}=-\infty}$ | |
↑ acercándose a 0− | ||
| Dividir 4 por un número negativo muy cercano a 0 resulta en un gran número negativo. | ||
acercándose a 4 ↓ | ||
| 4. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{3x - 2}{x - 2} $ no existe. | $\color{blue}{\dfrac{4}{0}=\pm\infty}$ | |
↑ acercándose a 0 | ||
| Aquí, $\displaystyle \color{blue}{\lim_{x \to 2^{-}} \frac{3x - 2}{x - 2} = \dfrac{4}{0^-}=-\infty}$ y $\displaystyle \color{blue}{\lim_{x \to 2^{+}} \frac{3x - 2}{x - 2} = \dfrac{4}{0^+}=\infty}$ | ||
Algunos para ti
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 10.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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