Tutorial: Factorización de cuadráticos

Tutorial: Multiplicación y factorización de expresiones algebraicas

Ir a Parte A: Multiplicación de expresiones algebraicas

Ir a Parte B: Factorización de expresiones algebraicas: Sacando factores comunes

Este tutorial: Parte C: Factorización de cuadráticos

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

En parte A de este tutorial aprendimos como utilizar la ley distributiva o PEXINUL para hacer cálculos como

$(x + 2)(2x - 5) = 2x^2 - x - 10.$ En esta sección, queremos invertir el proceso; es decir, empezando con la expresión $2x^2 - x - 10,$ deseamos factorizarla para volver a la expresión original $(x + 2)(2x - 5).$

Hay algunos cuadráticos, como $x^2 + x + 1,$ que no se puede factorizar de esta manera en absoluto. Aquí, considareremos solo expresiones cuadráticas que sí fatorizan, y en tal manera que los números $d, e, f$ y $g$ son números enteros. Otros casos se se tratan de forma completa en el %%solvingPolytut.

Factorizar por ensayo y error

La técnica habitual de factorizar tales expresiones cuadráticas es un enfoque de "ensayo y error", que ilustramos por medio de un ejemplo y algunos ejercicios para ti.

Factorizar por ensayo y error: %%Example

#[Let us factor][Factorizemos]# $x^2 - 6x + 5.$

Solución
Find ways to factor the first and last terms:

Primer término: \t $x^2$ tiene factores $\color{#0ea05e}{x}$ %%and $\color{#de6c00}{x}$ \t ya que $\color{slateblue}{x \cdot x = x^2}$ \\ Último término: \t $5$ tiene factores $\color{#c1026f}{5}$ %%and $\color{#026fc1}{1}$ \t ya que $\color{slateblue}{5 \cdot 1 = 5}$

#[Group them together and make an attempt.][Agrúpalos juntos y haz un intento]#:

$(\color{#0ea05e}{x} + \color{#c1026f}{5})(\color{#de6c00}{x} + \color{#026fc1}{1}) = x^2 + 6x + 5$

Esta bien, salvo el signo del término medio. Pero observa que podemos también obtener el $5$ por multiplicar $\color{#c1026f}{(-5)}$ y $\color{#026fc1}{(-1)}.$ En otras palabras, $5$ también tiene factores $\color{#c1026f}{(-5)}$ y $\color{#026fc1}{(-1)}.$ Utilizar estos nuevos factores nos da

$(\color{#0ea05e}{x} \color{#c1026f}{- 5})(\color{#de6c00}{x} \color{#026fc1}{- 1}) = x^2 - 6x + 5,$

so we have found the correct factorization.

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

#[Solving quadratic equations by factoring][Resolver ecuaciones cuadráticas por factorizar]#

%%Q #[What is the point of all of this factoring anyway?][ ¿Cuál es el punto de toda esta factorización de todos modos?]#
%%A #[The most common application is to use it to solve equations of the form][La aplicación más común es utilizarla para resolver ecuaciones de la forma]#

#[Quadratic equation][Ecuación cuadrática]#

#[Before we start solving quadratic equations, let's warm up by first solving linear equations:][Antes de empezar a resolver ecuaciones cuadráticas, primero vamos a calentar mediante la resolución de ecuaciones lineales:]#

#[Warmup: Solving linear equations][Calentamiento: Resolver ecuaciones lineales]#
#[An important step in solving a quadratic equation is to know how to solve so-called linear equations. A linear equation is an equation of the form][Un paso importante en la solución de una ecuación cuadrática es saber cómo resolver las llamadas ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación de la forma]#

$ax + b = c, \qquad $ ($a, b, c$ #[constants with $a$ non-zero.][constantes con $a$ distinta de cero]#)

%%Examples

$3x + 2 = 0 \qquad$ \t $\color{slateblue}{(a = 3,\ b = 2,\ c = 0)}$ \\ $x + 1 = -4$ \t $\color{slateblue}{(a = 1,\ b = 1,\ c = -4)}$ \\ $-x - 6 = 1$ \t $\color{slateblue}{(a = -1,\ b = -6,\ c = 1)}$ \\ $8x = 0$ \t $\color{slateblue}{(a = 8,\ b = 0,\ c = 0)}$

\t !3!#[Solution of][Solución de]# ax + b = c \t !3! #[Eg.][Ej.]# −2x + 5 = 4 \\ \t !5! 1. #[Subtract $b$ from both sides][Restar $b$ de ambos lados]#: (#[If b is negative, this amounts to adding a number to both sides.][Si b es negativo, eso equivale a sumar un número a ambos lados.]#) \\ \\ \t \gap[10] \t !r! $ax + b \color{red}{\ - \ b}$ \t $= c \color{red}{\ - \ b} \qquad$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x+5} \color{red}{\ - \ 5} $ \t $\color{slateblue}{= 4} \color{red}{\ - \ 5}$ \\ \t \t !r! $ax $ \t $= c - b$ \t !r! $\color{slateblue}{-2x}$ \t $\color{slateblue}{= -1}$ \t \t \gap[30] \t \\ \t \\ \t !5! 2. #[Divide both sides by $a$][Dividir ambos lados por $a$]#: \\ \\ \t \t !r! $\dfrac{ax}{\color{red}{a}}$ \t $= \dfrac{c-b}{\color{red}{a}} \qquad$ \t !r! $\dfrac{-2x}{\color{red}{-2}}$ \t $=\dfrac{-1}{\color{red}{-2}}$ \\ \t \t !r! $x$ \t $= \dfrac{c-b}{\color{red}{a}} \qquad \qquad$ \t !r! $x$ \t $=\dfrac{1}{2}$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

#[Some for you to do][Algunas a probar para ti]#

Ahora somos listos para empezar a resolver ecuaciones cuadráticas (Estudaremos resolver ecuaciones más generales empezando con %%solvingPolytut.)

#[Solving quadratic equations][Resolver ecuaciones cuadráticas]#: %%Example
Resolvamos $2x^2 - 9x + 4 = 0.$

Solución
Primero, factoriza la expresión usando las técnicas anteriores:

$2x^2 - 9x + 4 = (2x-1)(x-4)$

Así podemos reescribir nuestra ecuación como

$(2x-1)(x-4) = 0.$

Por lo tanto, el producto de los dos cantidades $(2x-1)$ y $(x-4)$ es cero. Bueno, si un producto de dos números es cero, significa que uno o otro de aquellos debe ser cero. Es decir,

O bien \gap[5] \t $2x - 1 = 0,$ \gap[5] \t así $2x = 1,$ que nos da $x = \frac{1}{2},$ \gap[40] \t Ve el Calentamiento arriba. \\ %%or \t $x-4 = 0,$ \t que nos da $x = 4.$

Por lo tanto, la ecuación cuadrática $2x^2 - 9x + 4 = 0$ tiene dos soluciones: $x = \frac{1}{2}, \ \ x = 4.$

Vídeo sugerido para este tema: Video por math2me

Algunas a probar para ti

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.