Tutorial: Expresiones racionales

Ir a Parte A: Solucionar ecuaciones lineales y cuadráticas

Este tutorial: Parte B: Solucionar ecuaciones polinómicas cúbicas y de orden superior

(Se puede encontrar este tema en la Sección 0.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

Básicos

Recuerda lo siguiente de la Parte A de este tutorial.

Polinomio y ecuación polinómica
Un polinomio es una expresión algebráica de la forma

$ax^n + bx^{n-1} + \cdots + rx + s$donde $a, b, \dots r$ y $s$ son constantes, llamadas los coeficientes del polinomio. Al máximo exponente de $x$ que aparece en la expresión con un coeficiente distinto de cero se le llama el grado del polinomio.

Ejemplos

$4x^3-x^2-5$ \gap[10] tiene grado 3. A los polinomios del grado 3 se les llama cúbicas. \\ \\ $x^4-1$ \gap[10] tiene grado 4. A los polinomios del grado 3 se les llama cuárticas. \\ \\ $4x^5-x$ \gap[10] tiene grado 4. A los polinomios del grado 3 se les llama quínticas.

Algunos para ti

Una ecuación poliomio de grado $n$ es una ecuación que se puede escribir en la forma

Polymonio de grado n = 0

Ejemplos

$4x^3-x^2-5 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 3. A las ecuaciones polinómicas del grado 3 se les llama ecuaciones cúbicas. \\ \\ $x^4-1 = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 4. A las ecuaciones polinómicas del grado 4 se les llama ecuaciones cuárticas. \\ \\ $4x^5-x = 0$ \gap[10] es una ecuación polinomio de grado 5. A las ecuaciones polinómicas del grado 5 se les llama ecuaciones quínticas.

Resolver ecuaciones cúbicas

Por definición, una ecuación cúbica puede escribirse en la forma

$a, b, c,$ %and $d$ son números fijos y $a \neq 0.$

A diferencia del caso de las ecuaciones cuadráticas, las ecuaciones cúbicas siempre tienen al menos una solución real. Sin embargo, solucionar las ecuaciones cúbicas nos lleva en un aprieto: Aunque hay una fórmula perfectamente respetable para las soluciones, es algo complicada e involucra el uso de números complejos bastante pesadamente. (Una cuenta detallada se puede encontrar aquí.) Así que restringimos la atención a las ecuaciones cúbicas al menos una de cuyas soluciones es un número racional.

Comenzamos con un caso especial que rápidamente se reduce a resolver una ecuación cuadrática:

Solution de ax³ + bx² + cx + d = 0 cuando d = 0
Ej. x³ − 2x² + x = 0

En este caso, $x$ es un factor común:

$ax^3+bx^2+cx = x(ax^2+bx+c)$ \t \gap[40] Ej. $x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1)$

la ecuación es, por lo tanto, $x(ax^2+bx+c)= 0$ y sus soluciones son $x = 0$ y las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c = 0,$ si las hay.

Ej. $x(x^2+2x+1)=0$ \t $\quad \Rightarrow \quad x(x+1)^2 = 0$ \t $\quad \Rightarrow \quad x = 0, \ x = -1$

Ejemplo
La ecuación cúbica $3x^3-5x^2+2x = 0$ tiene $a = 3, b = -5, c = 2, d = 0,$

$2x^3-5x^2+2x = 0 \quad$ \t $\Rightarrow \quad x(2x^2-5x+2) = 0$ \t $\Rightarrow \quad x(2x-1)(x-2) = 0$ \\ \t $\Rightarrow \quad x = 0,\ \ x = \dfrac{1}{2}, \ \ x = 2$

Algunos para ti

Caso general:
Solution de ax³ + bx² + cx + d = 0 cuando al menos una solución es racional

1. Prueba meter $x=\pm\dfrac{\text{Factor de }|d|}{\text{Factor de }|a|}$. \t Ej. $x=\pm\dfrac{\text{Factor de }2}{\text{Factor de }6} = \pm\dfrac{1}{1}$ o $\pm\dfrac{1}{6}$ o $\pm\dfrac{1}{3}$ o $\pm\dfrac{2}{3}$ o $\pm\dfrac{2}{1}$

Si hay una solución racional, será una de estas; llámalo $r.$ $(x - r)$ es entonces un factor del lado izquierdo.

2. Para obtener el otro factor, puedes dividir el dado cúbico por $(x-r)$ (el otro factor entonces será el cociente), o utilizar la siguiente fórmula:

$ax^3+bx^2+cx+d$ \t ${}= (x-r)(ax^2 \ + \ [ar+b]x \ + \ [ar^2+br+c])$

3. A continuación, utiliza factorización o la fórmula cuadrática en el segundo factor para obtener las soluciones restantes (si las hay).

Ejemplo
La ecuación cúbica $3x^3+5x^2-5x+1 = 0$ tiene $a = 3, b = 5, c = -5, d = 1,$

1. El único factor de $|d| = 1$ es $1$ y los factores de $|a| = 3$ son $1$ y $3$.
Tomando todas razones posibles $\pm\dfrac{\text{Factor de }|d|}{\text{Factor de }|a|}$ da

$x=\pm\dfrac{\text{Factor de }1}{\text{Factor de }3} = \pm\dfrac{1}{1}$ o $\pm\dfrac{1}{3}$

$x = 1:$ \t \gap[10] $3(1)^3+5(1)^2-5(1)+1 = 4 \neq 0 $ ✘ \\ $x = -1:$ \t \gap[10] $3(-1)^3+5(-1)^2-5(-1)+1 = 8 \neq 0 $ ✘ \\ $x = \frac{1}{3}:$ \t \gap[10] $3\left(\frac{1}{3}\right)^3+5\left(\frac{1}{3}\right)^2-5\left(\frac{1}{3}\right)+1 = 0 $ ✔

Por lo tanto, $x = \frac{1}{3}$ es una solución.

2. $\ \left(x-\frac{1}{3}\right)$ es por lo tanto un factor del lado izquierdo $3x^3+5x^2-5x+1.$
Para obtener otras soluciones (si las hay) primero factorizamos el lado izquierda utilizando la fórmula arriba:

$ax^3+bx^2+cx+d$ \t ${}= (x-r)(ax^2 \ + \ [ar+b]x \ + \ [ar^2+br+c])$ \\ $3x^3+5x^2-5x+1$ \t ${}= \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(3x^2 \ + \ \left[3\left(\frac{1}{3}\right)+5\right]x \ + \ \left[3\left(\frac{1}{3}\right)^2+5\left(\frac{1}{3}\right)-5\right]\right)$ \\ \t ${}= \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(3x^2 \ + \ [1+5]x \ + \ \left[\frac{1}{3}+\frac{5}{3}-5\right]\right)$ \\ \t ${}= \left(x-\frac{1}{3}\right)(3x^2 \ + \ 6x \ - \ 3)$

3. El segundo factor es

$3x^2 + 6x - 3 = 3(x^2+2x-1).$ Aunque $x^2+2x-1$ no factoriza sobre los enteros, tiene dos soluciones reales dadas por la fórmula cuadrática:

$x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.$

Por lo tanto hemos solucionado el cúbico: tiene las tres soluciones reales

$x = \dfrac{1}{3},\quad x = -1+\sqrt{2},$ y $x = -1-\sqrt{2}$

Solución de ecuaciones polinómicas de orden superior

Lógicamente hablando, nuestro próximo paso debe ser una discusión de los polinomios de cuarto grado, luego los polinomios de quinto grado, y así sucesivamente para siempre. Bueno, tenemos que parar en alguna parte, y los cúbicos pueden ser un lugar tan bueno como cualquiera. Por otro lado, ya que hemos llegado tan lejos, debemos por lo menos decirte lo que se sabe sobre los polinomios de orden superior.

Polinomios de cuarto grado Así como en el caso de los cúbicos, existe una fórmula para calcular las soluciones de los polinomios de cuarto grado. Ve, por ejemplo, este artículo.

Polinomios de quinto grado y más allá Desafortunadamente, todas las cosas buenas deben llegar a su fin. Resulta que no existe una "fórmula quíntica". En otras palabras, no hay una sola fórmula algebraica o un conjunto de fórmulas algebraicas que darán las soluciones a todos los ecuaciones polinómicas de quinto grado. Esta cuestión fue resuelta por el matemático noruego Niels Henrik Abel en 1824 después de casi 300 años de controversia sobre esta cuestión. (De hecho, varios matemáticos notables habían declarado previamente que habían hallado fórmulas para resolverlas, pero éstas fueron todos derribadas por otros matemáticos—que es uno de los pasatiempos favoritos de los practicantes de nuestro arte). La misma respuesta negativa se aplica a las ecuaciones polinómicas de grado 6 y superiores. No es que estas ecuaciones no tienen soluciones, sólo que no se pueden hallarlas usando fórmulas algebraicas. Sin embargo, hay ciertas clases especiales de ecuaciones polinómicas que pueden ser resueltas con métodos algebraicos. La manera de identificar tales ecuaciones fue descubierta alrededor de 1829 por el matemático francés Évariste Galois.

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 0.5 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.