Tutorial: Las reglas del producto y del cociente

(Se puede encontrar este tema en a Sección 4.3 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the old tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#

Cómo no tomar la derivada de productos y cocientes

En el #[tutorial on derivatives of powers, sums, and constant multiples][tutorial sobre derivadas de potencias, sumas, y múltiples constantes]# #[we saw that the derivative of a sum (or difference) is the sum (or difference) of the derivatives, so it is natural to ask whether the same is true for products and quotients: Is the derivative of a product (or quotient) the product (or quotient) of the derivatives?][vimos que la derivada de una suma (o resta) es la suma (o resta) de las derivadas, por lo que es natural pregunar si lo mismo es válido para los productos y los cocientes: ¿És la derivada de un producto (o cociente) el producto (o cociente) de las derivadas?]#

#[The following warm-up quiz puts this hypothesis to the test][La siguiente prueba de calentamiento pone esta hipótesis a prueba.]#

%%Q Entonces, ¿cómo calculamos las derivadas de productos y cocientes?
%%A Esto es exactamente el propósito de este tutorial.

Las reglas del producto y cociente

Regla del producto

Si $f$ y $g$ son funciones diferenciables, entonces también lo es su producto $fg$, y

$\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)\,g(x)] = \color{blue}{f'(x)}\,g(x) + f(x)\,\color{blue}{g'(x)}$ Regla del producto en palabras:

La derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.

%%Examples

1. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}[ (3x^3 + 7)(4x^2 - x + 4) ]$ \t $\displaystyle {}=$ #[Deriv of first][Deriv del primero]# × #[Second][Segundo]# + #[First][Primero]# × #[Deriv of second][Deriv del segundo]# \\ \t \t $\displaystyle {}=\color{blue}{(9x^2)}(4x^2 - x + 4) + (3x^3 + 7)\color{blue}{(8x - 1)}$

\\ 2. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ |x|(x^2 + 4)\right]$ \t !2! $\displaystyle {}=$ #[Deriv of first][Deriv del primero]# × #[Second][Segundo]# + #[First][Primero]# × #[Deriv of second][Deriv del segundo]# \\ \t \t $\displaystyle {}=\color{blue}{\frac{|x|}{x}}(x^2 + 4) + |x|\color{blue}{(2x)} \qquad $ \t $\displaystyle \frac{d}{dx}|x| = \frac{|x|}{x}$
(#[See the][Ve el]# .) \\ \t \t !2! $\displaystyle {}=|x|\left(x+\frac{4}{x} + 2x\right) = |x|\left(3x+\frac{4}{x}\right) $

%%Note En algunas circunstancias, es útil simplificar la respuesta; debes usar tu buen juicio en cada situación para decidir cuanto de simplificar. A continuación hay algunos ejemplos para ti. No es necesario simplificar las respuestas.

Regla del cociente

Si $f$ y $g$ son funciones diferenciables, entonces también lo es su cociente $f/g$ siempre que el denominador sea distinto de cero, y

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\color{blue}{f'(x)}\,g(x) - f(x)\,\color{blue}{g'(x)}}{g(x)^2}$. Regla del cociente en palabras:

La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido entre el denominador al cuadrado.

%%Examples

1. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{3x^3 + 7}{4x^2 - x + 4}\right]$ \t #[$\displaystyle {}=\frac{\color{blue}{\text{Deriv of top }} \times \text{ Bottom } - \text{ Top }\times \color{blue}{\text{ Deriv of bottom }}}{\text{Bottom}^2}$][$\displaystyle {}=\frac{\color{blue}{\text{Deriv del Numer }} \times \text{ Denom } - \text{ Numer }\times \color{blue}{\text{ Deriv del denom }}}{\text{Denom}^2}$]# \\ \t \t $\displaystyle {}= \frac{(\color{blue}{9x^2})(4x^2-x+4) \ \ - \ \ (3x^3 + 7)(\color{blue}{8x-1})}{(4x^2 - x + 4)^2}$

\\ 2. \t $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{|x|}{x^2 + 4}\right]$ \t !2! #[$\displaystyle {}=\frac{\color{blue}{\text{Deriv of top }} \times \text{ Bottom } - \text{ Top }\times \color{blue}{\text{ Deriv of bottom }}}{\text{Bottom}^2}$][$\displaystyle {}=\frac{\color{blue}{\text{Deriv del Numer }} \times \text{ Denom } - \text{ Numer }\times \color{blue}{\text{ Deriv del denom }}}{\text{Denom}^2}$]# \\ \t \t $\displaystyle {}=\frac{\color{blue}{\frac{|x|}{x}}(x^2 + 4) - |x|\color{blue}{(2x)}}{(x^2+4)^2} \qquad $ \t #[This looks ugly so let's simplify:][Esto se ve feo, así que simplifiquemos:]# \\ \t \t !2! $\displaystyle {}=\frac{|x|\left(x+\frac{4}{x} - 2x\right)}{(x^2+4)^2}$ \\ \t \t $\displaystyle = \frac{|x|\left(-x+\frac{4}{x}\right)}{(x^2+4)^2}$ \\ \t \t $\displaystyle = \frac{|x|\left(4-x^2\right)}{x(x^2+4)^2}$ \t #[A lot nicer!][¡Mucho mejor!]#

Algunos para ti

%%Q ¿De donde vienen estas reglas?
%%A Puedes encontrar una prueba de la regla del producto en a Sección 4.3 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado #[Press here for a proof of the quotient rule.][Clic aquí para una prueba de la regla del cociente.]#

Experimento mental de cálculo

%%Q Todo está muy bien si tenemos nada más que un producto o cociente obvio. Sin embargo, a todos los profesores les gustan expresiones molestas que aparecen ser algo entre los dos, como

$\displaystyle (3x + 1)\frac{x^2 + 4}{x^2 - 3}$, que parece una mezcla de un producto y un cociente. ¿Qué regla usamos para eso?
%%A Para tratar expresiones como estas—o bien cualquier expresión matemática en absoluto, usamos el siguiente pequeño secreto, descrito en a Sección 4.3 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado, y llamado el experimento mental de cálculo:

Experimento mental de cálculo (EMC)

El experimento mental de cálculo es una técnica para determinar si se trata una expresión algebraica como un producto, cociente, suma, diferencia, o potencia:

ultima

* #[See the %%orderoperations for a discussion of order of operations][Ve el %%orderoperations para una discusión del orden de operactiones]#.

%%Examples

1. $(3x^2- 4)(2x+1)$ se calcula primero calculando las expresiones entre paréntesis y luego multiplicándolas. Como el último paso es multiplicación, tratamos la expresión como un producto.

2. $\dfrac{2x-1}{x}$ se calcula calculando primero el numerador y el denominador por separado, y luego dividiendo uno por el otro. Como el último paso es división, tratamos la expresión como un cociente.

3. $(4x-1)(x+2) + x^2$ se calcula calculando el producto $(4x-1)(x+2)$, luego calculando $x^2$, y finalmente sumando las dos respuestas. Como el último paso es sumar, tratamos la expresión como una suma.

4. $(3x^2-1)^5$ se calcula calculando la expresión entre parénteses, y luego elevar la respuesta al quinto potencia. Como el último paso es elevar a una potencia, tratamos la expresión como una potencia. Derivadas de potencias de funciones aparte de $x$ se encuentra el la siguiente parte de este resumen.

Algunos para ti

Uso del experimento mental de cálculo (EMC) para diferenciar una función

Si dice el EMC que la dada función se escribe como una suma de dos expresiones más pequeñas, entonces aplica, como primer paso, la regla para sumas. Esto te quedará con las dos expresiones más pequeñas para diferenciar, y entonces puedes aplicar el EMC a cada una de aquellas, y así en forma sucesiva...

%%Example

Vamos a usar el EMC para calcular la derivada de

$\displaystyle f(x) = (3x + 1)\frac{x^2 + 4}{x^2 + x}$. Nos dice el EMC que $f(x)$ es un producto:

$f(x) = (3x + 1) \times \frac{x^2 + 4}{x^2 + x}$. Así, nuestro primer paso en calcular la derivada es usar la regla del producto:

$\displaystyle f'(x)$ \t ${}={}$ \t

$\displaystyle \frac{d}{dx}(3x+1)$

$\displaystyle {}\times \ \frac{x^2 + 4}{x^2 + x}$ \t $\ \ + \ \ $ \t $\displaystyle (3x+1) \ \times \ $ \t

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ \frac{x^2 + 4}{x^2 + x}\right]$

\t ... (I) \\ \t \t #[Deriv of first][Deriv del primero]# $ \ \times \ $ #[Second][Segundo]# \t $\ \ + \ \ $ \t !r! #[First][Primero]# $ \ \times \ $\t #[Deriv of second][Deriv del segundo]#

Recuerda que las expresiones "$\frac{d}{dx}$" son abreviaturas de "la derivada de... ." Es decir, aún no hemos terminado el trabajo; la expresión anterior (I) nos dice lo que todavía nos queda por hacer: tomar dos derivadas. (Si deseamos, podríamos en este punto hacer una pausa para tomar un café y regresar más tarde para terminar el trabajo, ya que las instrucciones sobre qué hacer a continuación están codificadas en lo que hicimos arriba.)

Para terminar la calculación, debemos tomar las derivadas de colores rosita y azul y sustituirlas en la expresión (I):

#[The derivative of the first (pink) expression is easy:][La derivada de la primera expresión (rosita) es fácil]#:

$\displaystyle \frac{d}{dx}(3x + 1)$

La derivada de la segunda expresión (azul) requiere la regla del cociente (si no lo cres, aplica el EMC a la expresión para convencerte...).

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{x^2 + 4}{x^2 + x}\right]$

Por último, sustituimos estas dos derivadas en (I) para obtener el resultado:

$\displaystyle f'(x) = 3\frac{x^2 + 4}{x^2 + x} + (3x + 1)\left[\frac{x^2 - 8x - 4}{(x^2 + x)^2}\right]$

Ahora prueba los ejercicios en a Sección 4.3 del libro Cálculo aplicado o la Sección 11.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.