Tutorial: Uso de matrices para solucionar sistemas lineales
Versión juego adaptivo
Este tutorial: Parte B: Solucionar sistemas por Gauss-Jordan
(Se puede encontrar este tema en a Sección 3.2 del libro Matemáticas finitas o la Sección 4.2 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
Recursos
Herramienta pivotar Gauss-Jordan
#[Getting started][Primeros pasos]#
En este tutorial empezamos utilizar las operaciones de renglón para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. (Si no está familizarizado con las operaciones de renglón, vuelve a la Parte A de este tutorial vuelve a la Parte A de este tutorial usando el enlace "tutorial anterior" en la barra lateral.) Antes que nada, vamos a echar un vistazo a un sistema bastante complicado con su matriz aumentada asociada, como
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{2y}{3} = \dfrac{1}{6}$
$-2x + \dfrac{y}{4} = \dfrac{1}{2}$ \t
$-2x + \dfrac{y}{4} = \dfrac{1}{2}$ \t
⟶
#[Augmented matrix][Matriz aumentada]#
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#[Augmented matrix][Matriz aumentada]#
#[Original matrix][Matiz original]#
\t
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#[Some row operations][Unas operaciones de fila]#
\t
#[Some row operations][Unas operaciones de fila]#
#[Reduced matrix][Matiz reducida]#
%%A: #[Look at the matrix on the right. If we translate its rows back into equations (see %%partAtut for help on this), we get:][Observa la matriz de la derecha. Si traducimos sus filas a ecuaciones (consulta el %%partAtut para obtener ayuda), obtenemos:]#
#[Row][Fila]# 1:\gap[5] $1x + 0y = -\dfrac{1}{5}$, \gap[10] #[that is][es decir]#, \gap[5] $x = -\dfrac{1}{5}$.
\\ #[Row][Fila]# 2:\gap[10] $0x + 1y = \dfrac{2}{5}$, \gap[10] #[that is][es decir]#, \gap[10] $y = \dfrac{2}{5}$ .
#[In other words, we have produced the solution of the system:][En otras palabras, hemos producido la solución del sistema:]#
$x = -\dfrac{1}{5}$, \gap[20] $y = \dfrac{2}{5}$.
%%Q: #[OK I'm impressed. So, how do you come up with the row operations to accomplish this magical transformation? ][Muy bien; estoy impresionado. Bueno, ¿cómo se le ocurre cuales operaciones de fila usar para cumplir esta transformación mágica? ]#
%%A: #[We will be doing the row reduction in several steps. One of the key steps is called clearing a column, or pivoting, and we are going to discuss that first before revealing the entire process to you.][Haremos la reducción en varios pasos. Uno de los pasos clave será despejar una columna, y vamos a hablar de esto primero antes de descubrir el proceso entero.]# #[Pivoting, or Clearing a Column][Pivotar o despejar una columna]# #[To "clear a column," you first need to designate one of its nonzero entries as a pivot and then do row operations that result in changing everything above and below the pivot to zeros. Here are some examples of matrices showing pivots with their columns cleared:][Para "despejar una columna," primero debes designar una de sus entradas distintas de cero como pivote y, a continuación, realizar operaciones de fila que resulten en convertir a cero todo lo que esté por encima y por debajo del pivote. A continuación, hay algunos ejemplos de matrices que indican pivotes con sus columnas borradas:]#
#[The pivots are boxed and their (cleared) columns are shaded.][Los pivotes están enmarcados y sus columnas (despejadas) son sombreadas.]#
#[To see instances of this procedure, just click on any nonzero matrix entry in the matrix shown.][Para ver ejemplos de este procedimiento, simplemente haz clic en cualquier entrada de matriz distinta de cero en la matriz que se muestra.]#
%%Q: #[OK then, but how do I come up with the row operations required to pivot?][Bien, entonces, ¿pero cómo puedo encontrar las operaciones de fila necesarias para pivotar?]#
%%A: #[In fact there is a perfectly mechanical way of writing down the necessary row operations! But first, before we reveal the secret, let's take a look at how it's done a some simple cases (Hint: the colors give you a clue as to where the numbers come from—More later):][De hecho, ¡existe una forma perfectamente mecánica de escribir las operaciones de fila necesarias! Pero primero, antes de revelar el secreto, vamos a echar un visto para ver cómo se hace en algunos casos simples (Pista: los colores te dan una pista sobre de dónde provienen los números—Más información más adelante):]#
$\bold{\color{darkgreen}{3}}\bold{\color{darkred}{R_2}}+\bold{\color{darkred}{8}}\bold{\color{darkgreen}{R_1}}$
$\longrightarrow$
%%A: #[Yes indeed! Here we go...][¡Sí, por supuesto! Aquí vamos...]#
#[Recipe: How to pivot][Receta: Cómo pivotar]#
#[Reducing a matrix: The individual steps][Reducir una matriz: los pasos individuales]#
#[By reducing a matrix we mean doing row operations to convert it into a form where we can read off the solution of the system it represents as we saw in the example of a "reduced matrix" at the beginning of this tutorial (in the %%nextTut we will make this concept more precise). In this tutorial, we describe the process required to reduce a matrix to the desired simple form.][Por reducir una matriz nos referimos a realizar operaciones de fila para convertirla a una forma que permita leer la solución del sistema que representa, como vimos en el ejemplo de una "matriz reducida" al principio de este tutorial. En el %%nextTut, haremos este concepto más preciso, mientras que en este tutorial describimos primero el proceso.]#
#[Initial Step][Paso inicial]#: #[Using operations of Type 1 (see %%partAtut) to clear all fractions and/or decimals if any, and result in a matrix where each row is in lowest terms (that is, has no common factor greater than $1$).][Utilizando operaciones de Tipo 1 (ver el %%partAtut) para eliminar todas las fracciones y/o decimales si los hay, y dar como resultado una matriz donde cada fila está en términos mínimos (es decir, no tiene ningún factor común mayor que $1$).]#
#[This will leave us with an integral matrix in lowest terms, that is, a matrix all of whose entries are integers (whole numbers) and where no row has a common factor greater than $1$.In the example with which we began this tutorial, we can do this by multiplying the first row by 6 and the second row by 4:][Esto nos dejará con una matriz integral matriz integral en términos mínimos, es decir, una matriz cuyas entradas son todas números enteros, y donde ninguna fila tiene un factor común mayor que $1$.En el ejemplo con el que comenzamos este tutorial, podemos hacerlo multiplicando la primera fila por 6 y la segunda fila por 4:]#
#[Note][Nota]# #[We could also have accomplished this using bigger multiples; for instance, multiplying the first row by 12 and/or the second row by 8, but doing so would result in an integral matrix whose entries are not in lowest terms, necessitating an additional "simplification step" to get the entries smaller (see below).
$6R_1$
$4R_2$
$\longrightarrow$
In general, use the lowest possible multiple for each row that eliminates fractions and decimals to keep the entries as small as possible and save steps.
][También podríamos haberlo logrado usando múltiplos mayores; por ejemplo, multiplicando la primera fila por 12 y/o la segunda por 8, pero al hacerlo se obtendría una matriz integral cuyas entradas no están en los términos más bajos, lo que requeriría un "paso de simplificación" adicional para hacer las entradas más pequeñas (ver a continuación). En general, use el múltiplo más pequeño posible para cada fila que elimine fracciones y decimales para mantener las entradas lo más pequeñas posible y ahorrar pasos.
]#
#[Example of initial step for you][Ejemplo del paso inicial para ti]#
Paso de pivote: Realizar la pivoteo utilizando el elemento principal de una fila determinada
#[In the example resulting from the initial step above, the leading entry in the first row is the (1, 1)-entry, so the pivoting step for the first row is the following:][En el ejemplo resultante del paso inicial anterior, el pivote en la primera fila es la entrada (1, 1), por lo que el paso pivotar para la primera fila es lo siguiente:]#
$3R_2+8R_1$
$\longrightarrow$
#[Example of a pivoting step for you][Ejemplo del un paso de pivote para ti]#
Paso de simplificación: Si en algún momento del proceso, todos las entradas de cualquiera fila son divisibles por un número entero, multiplica esa fila por el recíproco de ese entero.
#[For instance, in the matrix shown below on the left,][Por jemplo, en la matriz que se muestra a continuación a la izquierda,]# #[we notice that the entries in the second row are divisible by 7, so we multiply that row by $1/7$:][Observamos que los valores de la segunda fila son divisibles por 7, por lo que multiplicamos esa fila por $1/7$:]#
#[Caution][Aviso]# #[After the initial step of clearing fractions, they should not appear until the very last step, so do not do anything that results in fractions when doing the pivoting and simplification steps. For instance, multiplying the first row above by $1/3$ or the second row by $1/14$ would convert some of its entries to fractions, so do not do that.][Después del primero paso de eliminación de fracciones, estas no deberían aparecer hasta el último paso; por lo tanto, evita realizar cualquier operación que genere fracciones durante los pasos de pivoteo y simplificación. Por ejemplo, multiplicar la primera fila por $1/3$ o la segunda fila por $1/14$ convertiría algunos de sus elementos en fracciones, así que no lo hagas.]#
$\frac{1}{7}R_2$
$\longrightarrow$
#[Example of a simplification step for you][Ejemplo de un paso de simplificación para ti]#
#[Reducing a matrix: The entire process so far][Reducción de una matriz: todo el proceso hasta ahora]#
#[Once we know how to do the individual steps, the process so far is the following:][Una vez que sepamos cómo realizar cada paso individualmente, el proceso hasta ahora sería el siguiente:]#
- #[Clear all fractions if any (initial step) and simplify if possible (simplification step)][Eliminar todas las fracciones, si hay (primer paso) y simplifica si es posible (paso de simplificación)]#
- #[Starting with the first row, successively pivot on the leading entry of each row (pivoting step) and simplify if possible (simplification step)][Comenzando por la primera fila, realiza el pivoteo sucesivo utilizando el elemento principal de cada fila (paso de pivoteo) y simplifica si es posible (paso de simplificación).]#
Paso final para reducir una matriz: Convertir las entradas principales en 1 y reordenar las filas si es necesario
#[In row-reducing matrices with integer or rational coefficients, we prefer to convert them to integral matrices (matrices with integer coefficients) in the very first step, and keep them integral throughout the reduction process until the last step which we do here, where we convert all the leading entries into 1s and fractions may reappear.][En la reducción por filas de las matrices con coeficientes enteros o racionales, preferimos convertirlas en matrices integrales (matrices con coeficientes enteros) en el primer paso y mantenerlas integrales durante todo el proceso de reducción hasta el último paso que hacemos aquí, donde convertimos todas las entradas principales en 1 y las fracciones pueden reaparecer.]#
#[Once we have converted the leading entries into 1s we rearrange the rows, if necessary, so that the leading entries go from left to right, with any rows of zeros at the end.][Una vez que hemos convertido las entradas principales en 1, reorganizamos las filas, si es necesario, de manera que las entradas principales vayan de izquierda a derecha, con las filas de ceros al final.]#
#[It turns out that the reduced form of the matrix is unique; no matter what valid row operations you used to get the matrix into row reduced form, the same final matrix will always result! ][Resulta que la forma reducida de la matriz es única; ¡no importa qué operaciones de fila válidas hayas utilizado para obtener la matriz en forma reducida por filas, siempre resultará la misma matriz final!]#
#[Examples][Ejemplos]#
#[(Note that only the leading entry---the first nonzero entry---of each row that has one has been converted to a 1.)][(Ten en cuenta que solo la entrada principal---la primera entrada distinta de cero----de cada fila que tiene uno se ha convertido en 1).]#
#[Now notice something very interesting about the first example above: If the matrix we are working with there represented a system of three linear equations with unknowns $x, y, z$, then converting the matrix we have obtained back into equations gives us][Ahora note algo muy interesante sobre el primer ejemplo anterior: si la matriz con la que estamos trabajando allí representara un sistema de tres ecuaciones lineales con incógnitas $x, y, z$, entonces convertir la matriz que hemos obtenido nuevamente en ecuaciones nos da]#
$-\frac{1}{2}R_1$
$\frac{1}{10}R_2$
$-R_3$
$\frac{1}{10}R_2$
$-R_3$
$\longrightarrow$
\\
$-\frac{1}{2}R_1$
$\frac{1}{6}R_2$
$\frac{1}{6}R_2$
$\longrightarrow$
$x = \dfrac{3}{2}, \ \ y = -\dfrac{1}{2}, \ \ z = -2$.
#[In other words, we have obtained the solution of the original system of equations!][En otras palabras, ¡hemos obtenido la solución del sistema original de ecuaciones!]#
#[By contrast, The second example above does not represent a unique solution, but instead a simplified system of equations that leads to a non-unique solution. Situations like this are discussed in %%nextTut.][En cambio, el segundo ejemplo anterior no representa una solución única, sino un sistema de ecuaciones simplificado que conduce a una solución no única. Situaciones como esta se analizan en el %%nextTut.]#
#[However, both of these examples (among others) can result from the reduction process we have described here, and have the following properties in common:][Sin embargo, ambos ejemplos (entre otros) pueden resultar del proceso de reducción que hemos descrito aquí y tienen las siguientes propiedades en común:]#
#[Reduced row-echelon form][Rorma escalonada reducida por filas]#
Una matriz está en forma escalonada reducida por filas (o reducida para abreviar) si:
- La entrada principal de cada fila distinta de cero es un 1.
- La columna de cada entrada principal es despejada; es decir, las otras entradas en aquella columna son todos ceros. (Nota: Columnas que no contienen entradas principlaes no necesitan ser despejadas.)
- Las filas están organizadas de forma que las entradas principales se muestran de izquierda a derecha a medida que se avanza por ellas. Las filas de ceros (si las hay) se encuentran en la parte inferior.