d dx

[f(x)g(x)]

=

f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Regla del producto en palabras:

Regla del cociente

d dx

f(x) g(x)

=

f'(x)g(x) - f(x)g'(x) g(x)2

Regla del cociente en palabras:

Regla del producto

d dx

[x2(3x- 1)]

=

2x(3x- 1) + x2(3)

(Las derivadas de f y g son mostradas en color.)
 

Regla del cociente

d dx

x3 x2+1

=

3x2(x2+1) - x3.2x (x2+1)2

¡Por supuesto debería simplificar las respuestas y no las dejar así!

Clic aquí para un tutorial en línea sobre las reglas del producto y cociente.

El experimento mental de cálculo (EMC) es una técnica para determinar si se toma una expresión algebraica como un producto, cociente, suma o diferencia. Dada una expresión, se considere los pasos que daría usted en calcular su valor. Si la ultima operación es una multiplicación, tomaría la expresión como un producto; si la ultima operación es una división, tomaría la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva.

Usando el experimento mental de cálculo para diferenciar una función
Si dice el EMC que la expresión es una suma de expresiones más pequeñas, entonces aplique la regla de sumas. Así le dejará teniendo que diferenciar expresiones más sencillas, y puede usar el EMC para aquellos, y así en forma sucesiva...

1. (3x²- 4)(2x+1) se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y multiplicando. Como el ultimo paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto.

2. (2x- 1)/x se puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Como al ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente.

3. x² + (4x- 1)(x+2) se puede calcular evaluando primero x², después (4x- 1)(x+2), y por último sumando las dos respuestas. Entonces, podemos tratar la expresión como una suma.

4. (3x²- 1)⁵ se puede calcular evaluando primero el expresión entre paréntesis, y por último evaluando a la quinta potencia la respuesta. Entonces, podemos tratar la expresión como una potencia.

Usando el EMC
Déjenos diferenciar x² + (4x- 1)(x+2). Como ya vimos mas arriba que esta expresión es la suma de x² y (4x- 1)(x+2), el primero paso es usar la regla para diferenciar una suma (tratada en la resumen anterior):

d dx

[x2 + (4x- 1)(x+2)]

=

d dx

[x2]

+

d dx

[(4x- 1)(x+2)]

Ahora estamos dejados con dos funciones más sencillas para diferenciar: x², que es una potencia, pues usamos la regla de potencias, y (4x- 1)(x+2), que es un producto, pues usamos la regla del producto:

d dx [x2] + d dx [(4x- 1)(x+2)]

= 2x + 4(x+2) + (4x- 1)(1)

Si f es una función diferenciable de u y u, a su vez, es una función diferenciable de x, entonces la función compuesta f(u) es una función diferenciable de x, y además

d dx

[f(u)]

=

f'(u)

du dx

Regla de la cadena en palabras:

d dx

[u0.5]

=

0.5u- 0.5

du dx

Reglas generalizadas de derivadas
Como se ilustra el ejemplo más abajo, para cada función cuya derivada conocemos, conseguimos una regla "generalizada:"

Regla original	Regla generalizada (Regla de la cadena)
d dx xn = nx n- 1	d dx un = nun- 1 du dx
d dx 4x- 1/2 = - 2x- 3/2	d dx 4u- 1/2 = - 2u- 3/2 du dx
d dx sin x = cos x	d dx sin u = cos u du dx

(Examine primero las reglas generalizadas a la izquierda.)

1.	d dx	(1+x2)3	=	3(1+x2)2 d dx (1+x2)
			=	3(1+x2)2,2x
			=	6x(1+x2)2
2.	d dx	2 (x+x2)3	=	d dx (x+x2)- 3
			=	- 3(x+x2)- 4 d dx (x+x2)
			=	- 3(x+x2)- 4 (1+2x)
			=	1+2x (x+x2)4
3.	d dx	e(x+x2)	=	e(x+x2) d dx (x+x2)
			=	e(x+x2)(1+2x)
4.	d dx	(x- 2/x)- 1	=	Use formato correcto para graficadora/computadora

Clic aquí para un tutorial en línea sobre la regla de la cadena.

La tabla siguiente resuma las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales, y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, las funciones logarítmicas y exponenciales de una función).

Regla original	Regla generalizada (Regla de la cadena)
d dx ln x   = 1 x	d dx ln u  = 1 u du dx
d dx logax = 1 x ln a	d dx logau = 1 u ln a du dx
d dx ex = ex	d dx eu = eu du dx
d dx ax = axln a	d dx au = auln a du dx

1.	d dx	2 ln x	=	2. 1 x = 2 x
2.	d dx	ln(2x)	=	1 2x d dx (2x)
			=	2. 1 2x = 1 x
3.	d dx	log3(2x+1)	=	1 (2x+1)ln 3 d dx (2x+1)
			=	2. 1 (2x+1)ln 3 = 2 (2x+1)ln 3
4.	d dx	ex2+1	=	ex2+1 d dx (x2+1)
			=	2x ex2+1
5.	d dx	2(x3+x)	=	Use formato correcto para graficadora/computadora

Clic aquí para un tutorial en línea sobre las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales.

La tabla siguiente resuma las derivadas de las seis funciones trigonométricas y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).

Regla original	Regla generalizada (Regla de la cadena)
d dx sin x = cos x	d dx sin u = cos u du dx
d dx cos x = - x	d dx cos u = - sin u du dx
d dx tan x = sec2 x	d dx tan u = sec2u du dx
d dx cotan x = - cosec2 x	d dx cotan u = - cosec2u du dx
d dx sec x = sec x tan x	d dx sec u = sec u tan u du dx
d dx cosec x = - cosec x cotan x	d dx cosec u = - cosec u cotan u du dx

1.	d dx	x sin x	=	1.sin x + x cos x   Regla del producto
			=	sin x + x cos x
2.	d dx	cos(2x2+1)	=	sin(2x2+1) d dx (2x2+1)
			=	sin(2x2+1).4x = 4x sin(2x2+1)
3.	d dx	sec(x3)	=	sec(x3) tan(x3) d dx (x3)
			=	sec(x3) tan(x3) . 3x2
			=	3x2 sec(x3) tan(x3)
5.	d dx	x cos(x2)	=	Use formato correcto para graficadora/computadora

Clic aquí para texta en línea sobre las derivadas de las funciones trigonometricas.

Dado una ecuación en las variables x y y, podremos pensar de y como una función implícita de x. Podremos calcular dy/dx sin despejar primero a y es como se muestra a continuación:

• Primero, tome la derivada respecto a x de ambos lados de la ecuación (tratando y como "una cantidad" en la regla de la cadena).
• Después, despeje a dy/dx. Tal vez se da dy/dx como función de tanto y como x.
• Para evaluar dy/dx a un valor específico de x (o y), primero sustituya el valor dado en la ecuación original que muestra la relación entre x y y para obtener un valor para la otra variable si es necesario, y después sustituya los valores de x y y en la expresión de dy/dx.

Diferenciación logaritmica
Esta es la técnica sacando primero el logaritmo (natural) de ambos lados, para después aplicar la diferenciación implícita y determinar dy/dx. Diferenciación logaritmica es una alternativa útil para utilizar en vez de las reglas del producto y cociente para determinar las derivadas de expresiones particularmente complicadas.

Para determinar dy/dx dado que

xy+ y3x -ey = 4

d dx [xy + y3x -ey] = d dx [4]

y + x dy dx + 3y2 dy dx x + y3 - ey dy dx = 0

x

dy dx

+ 3y2

dy dx

x - ey

dy dx

=

-y - y3

dy dx   x + 3xy2 - ey   = -y - y3

dy dx = -y - y3 x + 3xy2 - ey