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Cálculo aplicado resumen del tema: técnicas de diferenciación

Herramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel | Graficador Excel de Primera y Segunda Derivada

Tópicos: Derivadas de Potencias, Sumas, y Múltiplos Constantes | Análisis Marginal | Reglas del Producto y del Cociente | Experimento Mental de Cálcula | Regla de la Cadena | Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales | Derivadas de Funciones Trigonométricos | Funciones Implícitas y Diferenciación Implícita

Derivadas de Potencias, Sumas, y Múltiplos Constantes

Regla de potencias
Si f(x) = xn, entonces f'(x) = nxn-1. Esta formula es valido para cualquier constante potencia n. En la notación diferencial, se escribe

    d

    dx
    xn
    =nxn - 1
    La derivada, respecto a x, de xn es igual a nxn - 1

Reglas de sumas y múltiplos constantes
Si existen f'(x) y g'(x), y si c es una constante, entonces

(A) [f(x)   ±   g(x)]' = f'(x)   ±   g'(x)
(B) [cf(x)]' = cf'(x) .
En la notación diferencial, estas reglas son:
  (A)
d

dx
[f(x) ± g(x)] =
d

dx
[f(x)] ±
d

dx
[g(x)]
  (B)
d

dx
[cf(x)] = c
d

dx
[f(x)]

En palabras:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.

La derivada de c por una función es c por la derivada de la función.

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Ejemplos

    d

    dx
    x3.2
    =3.2x2.2
    d

    dx
    4x - 1
    = - 4x - 2
    d

    dx
    3x1.1 + 4x - 2
    = 3.3x0.1 - 8x - 3
    d

    dx
    1

    x
    =
    d

    dx
    x - 1
    = - x - 2
    =
    -
    1

    x2

¿Quiere praticar? Pruebe el tutorial interactivo o pruebe algunos ejercicios.

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Análisis Marginal

Si Q(x) se representa cualquier cantidad como costo, ingreso, utilidad, o pérdida por la venta de x artículos, entonces Q'(x) se llama la cantidad marginal. Entonces, por ejemplo, el costo marginal mide la tasa de cambio del costo (el costo aproximado del siguiente artículo).

El costo marginal es distinto del costo promedio, que mide el promedio de los x primeros artículos. El costo promedio es dado por

C(x) =
C(x)

x
=
Costo Total

Número de Artículos

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Ejemplos

Si el costo de los primeros x artículos es

C(x) = 4x0.2 - 0.1x libras esterlinas.

Entonces e costo marginal es
C'(x) = 0.8x-0.8 - 0.1 libras esterlinas por artículo.
En paricular, C'(3) ≈ 0.23 (libras esterlinas por artículo) es el costo aproximado del tercer artículo (o el cuarto artículo).

El costo promedio de los tres primeros artículos es

    C(3) =
    C(3)

    3
    4.6829

    3
    1.56 libra esterlina/artículo

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Regla del producto
    d

    dx
    [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Regla del producto en palabras:

La derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.


Regla del cociente

    d

    dx
    f(x)

    g(x)
    =
    f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

    g(x)2

Regla del cociente en palabras:

La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido entre el denominador al cuadrado.
Ejemplos


Regla del producto

    d

    dx
    [x2(3x- 1)] = 2x(3x- 1) + x2(3)

(Las derivadas de f y g son mostradas en color.)
 


Regla del cociente

    d

    dx
    x3

    x2+1
    =
    3x2(x2+1) - x3.2x

    (x2+1)2

¡Por supuesto debería simplificar las respuestas y no las dejar así!

Clic aquí para un tutorial en línea sobre las reglas del producto y cociente.

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Combinando las reglas: Experimento mental de cálculo

El experimento mental de cálculo (EMC) es una técnica para determinar si se toma una expresión algebraica como un producto, cociente, suma o diferencia. Dada una expresión, se considere los pasos que daría usted en calcular su valor. Si la ultima operación es una multiplicación, tomaría la expresión como un producto; si la ultima operación es una división, tomaría la expresión como un cociente, y así en forma sucesiva.

Usando el experimento mental de cálculo para diferenciar una función
Si dice el EMC que la expresión es una suma de expresiones más pequeñas, entonces aplique la regla de sumas. Así le dejará teniendo que diferenciar expresiones más sencillas, y puede usar el EMC para aquellos, y así en forma sucesiva...

Ejemplos

1. (3x2- 4)(2x+1) se puede calcular evaluando primero las expresiones entre paréntesis y multiplicando. Como el ultimo paso es multiplicación, se puede tratar la expresión como un producto.

2. (2x- 1)/x se puede calcular evaluando primero el numerador y el denominador, y por último dividendo el uno por el otro. Como al ultimo paso es división, podemos tratar la expresión como un cociente.

3. x2 + (4x- 1)(x+2) se puede calcular evaluando primero x2, después (4x- 1)(x+2), y por último sumando las dos respuestas. Entonces, podemos tratar la expresión como una suma.

4. (3x2- 1)5 se puede calcular evaluando primero el expresión entre paréntesis, y por último evaluando a la quinta potencia la respuesta. Entonces, podemos tratar la expresión como una potencia.

Usando el EMC
Déjenos diferenciar x2 + (4x- 1)(x+2). Como ya vimos mas arriba que esta expresión es la suma de x2 y (4x- 1)(x+2), el primero paso es usar la regla para diferenciar una suma (tratada en la resumen anterior):

    d

    dx
    [x2 + (4x- 1)(x+2)] =
    d

    dx
    [x2]+
    d

    dx
    [(4x- 1)(x+2)]

Ahora estamos dejados con dos funciones más sencillas para diferenciar: x2, que es una potencia, pues usamos la regla de potencias, y (4x- 1)(x+2), que es un producto, pues usamos la regla del producto:

    d

    dx
    [x2]+
    d

    dx
    [(4x- 1)(x+2)]
    = 2x+ 4(x+2) + (4x- 1)(1)

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Regla de la cadena

Si f es una función diferenciable de u y u, a su vez, es una función diferenciable de x, entonces la función compuesta f(u) es una función diferenciable de x, y además

    d

    dx
    [f(u)] = f'(u)
    du

    dx

Regla de la cadena en palabras:

La derivada de f(cantidad) es la derivada de f, evaluada a aquel cantidad, por la derivada de la cantidad.

Por ejemplo, si f(u) = u0.5, entonces
    d

    dx
    [u0.5] = 0.5u- 0.5
    du

    dx

La derivada de una cantidad elevada a 0.5 es 0.5 por la cantidad elevada a -0.5, por la derivada de la cantidad.

Reglas generalizadas de derivadas
Como se ilustra el ejemplo más abajo, para cada función cuya derivada conocemos, conseguimos una regla "generalizada:"

Regla original Regla generalizada
(Regla de la cadena)
d

dx
xn = nx n- 1
d

dx
un = nun- 1
du

dx
d

dx
4x- 1/2 = - 2x- 3/2
d

dx
4u- 1/2 = - 2u- 3/2
du

dx
d

dx
sin x = cos x
d

dx
sin u = cos u
du

dx
Ejemplos

(Examine primero las reglas generalizadas a la izquierda.)

1.
d

dx
(1+x2)3 =
3(1+x2)2
d

dx
(1+x2)
=
3(1+x2)2,2x
=
6x(1+x2)2
2.
d

dx
2

(x+x2)3
=
d

dx
(x+x2)- 3
=
- 3(x+x2)- 4
d

dx
(x+x2)
=
- 3(x+x2)- 4 (1+2x)
=
−3(1+2x)

(x+x2)4
3.
d

dx
e(x+x2) =
e(x+x2)
d

dx
(x+x2)
=
e(x+x2)(1+2x)
4.
d

dx
(x- 2/x)- 1 =

Use formato correcto para graficadora/computadora

Clic aquí para un tutorial en línea sobre la regla de la cadena.

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Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

La tabla siguiente resuma las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales, y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, las funciones logarítmicas y exponenciales de una función).

Regla original Regla generalizada
(Regla de la cadena)
d

dx
ln x   =
1

x
d

dx
ln u  =
1

u
du

dx
d

dx
logax=
1

x ln a
d

dx
logau =
1

u ln a
du

dx
d

dx
ex = ex
d

dx
eu = eu
du

dx
d

dx
ax = axln a
d

dx
au = auln a
du

dx
Ejemplos

1.
d

dx
2 ln x =
2.
1

x
=
2

x
2.
d

dx
ln(2x) =
1

2x
d

dx
(2x)
=
2.
1

2x
=
1

x
3.
d

dx
log3(2x+1) =
1

(2x+1)ln 3
d

dx
(2x+1)
=
2.
1

(2x+1)ln 3
=
2

(2x+1)ln 3
4.
d

dx
ex2+1 =
ex2+1
d

dx
(x2+1)
=
2x ex2+1
5.
d

dx
2(x3+x) =

Use formato correcto para graficadora/computadora

Clic aquí para un tutorial en línea sobre las derivadas de las funciones logarítmicas y exponenciales.

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Derivadas de funciones trigonométricas

La tabla siguiente resuma las derivadas de las seis funciones trigonométricas y también las derivadas de sus homólogos que se surgen de la regla de la cadena (es decir, el seno, coseno, etc. de una función).

Regla original Regla generalizada
(Regla de la cadena)
d

dx
sin x = cos x
d

dx
sin u = cos u
du

dx
d

dx
cos x = - x
d

dx
cos u = - sin u
du

dx
d

dx
tan x = sec2 x
d

dx
tan u = sec2u
du

dx
d

dx
cotan x = - cosec2 x
d

dx
cotan u = - cosec2u
du

dx
d

dx
sec x = sec x tan x
d

dx
sec u = sec u tan u
du

dx
d

dx
cosec x
=- cosec x cotan x
d

dx
cosec u
=- cosec u cotan u
du

dx
Ejemplo

1.
d

dx
x sin x =
1.sin x + x cos x   Regla del producto
=
sin x + x cos x
2.
d

dx
cos(2x2+1) =
sin(2x2+1)
d

dx
(2x2+1)
=
sin(2x2+1).4x = 4x sin(2x2+1)
3.
d

dx
sec(x3) =
sec(x3) tan(x3)
d

dx
(x3)
=
sec(x3) tan(x3) . 3x2
=
3x2 sec(x3) tan(x3)
5.
d

dx
x cos(x2) =

Use formato correcto para graficadora/computadora

Clic aquí para texta en línea sobre las derivadas de las funciones trigonometricas.

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Funciones implícitas y diferenciación implícita

Dado una ecuación en las variables x y y, podremos pensar de y como una función implícita de x. Podremos calcular dy/dx sin despejar primero a y es como se muestra a continuación:

  • Primero, tome la derivada respecto a x de ambos lados de la ecuación (tratando y como "una cantidad" en la regla de la cadena).
  • Después, despeje a dy/dx. Tal vez se da dy/dx como función de tanto y como x.
  • Para evaluar dy/dx a un valor específico de x (o y), primero sustituya el valor dado en la ecuación original que muestra la relación entre x y y para obtener un valor para la otra variable si es necesario, y después sustituya los valores de x y y en la expresión de dy/dx.

Diferenciación logaritmica
Esta es la técnica sacando primero el logaritmo (natural) de ambos lados, para después aplicar la diferenciación implícita y determinar dy/dx. Diferenciación logaritmica es una alternativa útil para utilizar en vez de las reglas del producto y cociente para determinar las derivadas de expresiones particularmente complicadas.

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Ejemplo

Para determinar dy/dx dado que

    xy+ y3x -ey = 4
Primero, se saca la derivada a respecto a x (es decir, d/dx) de ambos lados:
    d

    dx
    [xy + y3x -ey]=
    d

    dx
    [4]
    y + x
    dy

    dx
    + 3y2
    dy

    dx
    x + y3 - ey
    dy

    dx
    = 0
Ahora despejamos a dy/dx por juntar todos los términos con dy/dx a la izquierda y llevar los otros términos a la derecha:
    x
    dy

    dx
    + 3y2
    dy

    dx
    x - ey
    dy

    dx
    =-y - y3
Ahora saque a dy/dx como factor común y despeje a lo:
    dy

    dx
     x + 3xy2 - ey =-y - y3
    dy

    dx
    =
    -y - y3

    x + 3xy2 - ey

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Ultima actualización: junio 2007
Derechos de autor © Stefan Waner

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