Tutorial: Funciones y modelos lineales
Este tutorial: Parte C: Aplicaciones: Modelos lineales
(Se puede encontrar este tema en la Sección 1.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)
El modelado lineal
El uso de funciones lineales para describir o aproximar relaciones en el mundo real se denomina modelar lineal.
Un modelo lineal que nos dice cómo el valor de la variable $y$ depende del valor de la variable $x$ tiene la forma $y = mx + b$, donde $m$ y $b$ son constantes. $y$ es la variable dependiente y $x$ es la variable independiente.
La pendiente $m$ es la tasa a la que $y$ aumenta por unidad de aumento en $x,$ mientras que $b,$ la intersección en $y,$ es el valor de $y$ que corresponde a $x = 0.$ La pendiente $m$ se mide en unidades de $y$ por unidad de $x,$ mientras que la intersección $b$ se mide en unidades de $y.$
#[In this tutorial we will focus on the following specific kinds of linear models:][En este tutorial nos centraremos en los siguientes tipos específicos de modelos lineales:]#
#[Linear Cost functions][Funciones lineales de costos lineal]#
\\ #[Linear demand functions][Funciones lineales de demanda lineal]#
\\ #[Linear time-change functions][Funciones lineales de cambio en el tiempo]#
Ya estudiamos estos conceptos en %%modelsstut, pero aquí nos centramos en construir modelos lineales para ellos.
#[Linear cost functions][Funciones lineales de costos]#
Vimos en el %%modelsstut que una función de costo especifica el costo $C$ como una función del número de artículos $x,$ y vimos también que una función de costo tiene la forma general
$C(x) = {}$ Costo = Costo variable + Costo fijo
donde el costo variable depende de $x$ y el costo fijo es una constante.
Función lineal de costo
Una función de costo de la forma
$C(x) = mx + b$
se llama una función de costo lineal; el costo variable es $mx$ mientras que el costo fijo es $b.$ La pendiente $m$ en una función de costo lineal es el costo marginal, y mide el costo incremental por artículo.
Ejemplos
A su servicio de donas orgánicas le cuesta $\$100$ por día alquilar espacio de exhibición en el MercadoOrgánico local, más $\$2$ adicionales para preparar cada caja de donas orgánicas. Por lo tanto, la función de costos es
$C(x) = 2x + 100\qquad$ \t #[$C$ = daily cost, $x$ = number of boxes prepared][$C$ = costo diario, $x$ = número de cajas preparados]#
El costo fijo es $\$100$, el costo variable es $2x,$ y el costo marginal es $2.$
Algunos para ti
Unidades de medida
Mira de nuevo a la función de costo de las donas orgánicas. Recuerde que el costo de hacer $x$ cajas de donas fue
%%A Veamos los términos uno por uno.:
$C(x) = 2x+100$ #[Dollars][Dólares]#
%%Q ¿Cuáles son las unidades de medida de los términos en una función lineal de costos como esta? %%A Veamos los términos uno por uno.:
- Unidades de C: Primero, el costo por si mismo $C(x) = mx + b = 2x+100$ se mide en dólares como se indica.
- Unidades de mx y b: De ello se deduce que el costo variable, $mx=2x$ y el costo fijo $b=100$ también se miden en dólares.
- Unidades de x: Dijimos anteriormente que una función de costo especifica el costo $C$ como una función del número de artículos x, por lo que $x$ es el número de artículos; en este caso es el número de cajas (de donas), por lo que sus unidades de medida son cajas (o quizás "cajas de donas").
- Unidades de m: Como $mx = 2x$ es el costo de preparar $x$ cajas, debe ser que $m$ por sí solo es el costo por caja. Por lo tanto, sus unidades de medida son dólares por caja (a menudo escrito como dólares/caja).
#[Your turn][Tu turno]#
#[Linear demand functions][Funciones lineales de demanda]#
Segun lo que vimos en el %%modelsstut, una función de demanda expresa la demanda $q$
(el número de artículos demandados, por ejemplo, el número de artículos vendidos por mes) en función del precio unitario $p$ (el precio por artículo).
Función lineales de demanda
A linear demand function has the form
El precio unitario, $p$, se mide en unidades monetarias (por ejemplo, dólares) y $q$ se mide en unidades de demanda (por ejemplo, artículos vendidos por mes). La pendiente $m$ se mide en unidades de $q$ por unidad de $p$; es decir, unidades de demanda por precio unitario (por ejemplo, ventas mensuales por aumento de \$1 en el precio). La intersección se mide en las mismas unidades que $q$ (unidades de demanda). #[Interpretation of $m$][Interpretación de $m$]#
La pendiente (generalmente negativa) $m$ mide el cambio en la demanda por unidad de cambio en el precio. Así, por ejemplo, si $p$ se mide en dólares y $q$ en ventas mensuales, y $m = -400$, entonces cada aumento de \$1 en el precio por artículo dará como resultado una caída en las ventas de $400$ artículos por mes. #[Interpretation of $b$][Interpretación de $b$]#
la cantidad $b$ da la intersección en el eje vertical ($q$); lo que da la demanda cuando $p = 0$; es decir, la demanda si los artículos fueran regalados.
A linear demand function has the form
$q(p) = mp+b$ \gap[40] \t #[Function form][Forma función]#
\\ $q = mp+b$ \gap[40] \t #[Equation form][Forma ecuación]#
#[Note: $p$ plays the role of $x$ and $q$ plays the role of $y$][Nota: $p$ juega el papel de $x$ y $q$ juega el papel de $y$]#
#[Units of measurement][Unidades de medida]#
El precio unitario, $p$, se mide en unidades monetarias (por ejemplo, dólares) y $q$ se mide en unidades de demanda (por ejemplo, artículos vendidos por mes). La pendiente $m$ se mide en unidades de $q$ por unidad de $p$; es decir, unidades de demanda por precio unitario (por ejemplo, ventas mensuales por aumento de \$1 en el precio). La intersección se mide en las mismas unidades que $q$ (unidades de demanda). #[Interpretation of $m$][Interpretación de $m$]#
La pendiente (generalmente negativa) $m$ mide el cambio en la demanda por unidad de cambio en el precio. Así, por ejemplo, si $p$ se mide en dólares y $q$ en ventas mensuales, y $m = -400$, entonces cada aumento de \$1 en el precio por artículo dará como resultado una caída en las ventas de $400$ artículos por mes. #[Interpretation of $b$][Interpretación de $b$]#
la cantidad $b$ da la intersección en el eje vertical ($q$); lo que da la demanda cuando $p = 0$; es decir, la demanda si los artículos fueran regalados.
%%Example
Si la demanda de playeras, medida en ventas diarias, se da por
Si la demanda de playeras, medida en ventas diarias, se da por
$q = -4p + 90\qquad$
donde $p$ es el precio de venta en dólares, entonces las ventas diarias caen cuatro camisetas por cada \$1 de aumento en el precio. Si las camisetas se regalaran, la demanda sería de 90 camisetas por día.
#[Linear time-change functions][Funciones lineales de cambio en el tiempo]#
En %%modelsPtBstut vimos ejemplos de funciones utilizadas para modelar cantidades $q$ que son funciones del tiempo $t$. Cuando $q(t)$ resulta ser una función lineal, estamos modelando un cambio lineal a lo largo del tiempo.
Cambio lineal en el tiempo
Si unda cantidad $q$ es una función lineal del tiempo $t$, de modo que
Las unidades de medida de $m$ son las unidades de q por unidad de tiempo; por ejemplo, si $q$ es ingreso en dólares y $t$ es el tiempo en años, entonces la razón de cambio $m$ se mide en dólares por año.
Si unda cantidad $q$ es una función lineal del tiempo $t$, de modo que
$q(t) = mt + b,$
entonces la pendiente $m$ mide la razón de cambio de $q$, y $b$ es el valor de la cantidad cuando el tiempo $t = 0$, la cantidad inicial. Si $q$ representa la poición de un objeto en movimiento, entonces la razón de cambio también se llama la velocidad.
Unidades de m
Las unidades de medida de $m$ son las unidades de q por unidad de tiempo; por ejemplo, si $q$ es ingreso en dólares y $t$ es el tiempo en años, entonces la razón de cambio $m$ se mide en dólares por año.
Ejemplos
- Si los ingresos acumulados por las ventas de tu app de videojuegos están dados por $R(t) = 2000t + 500$ dólares, donde $t$ es el tiempo en años a partir de ahora, entonces has ganado \$500 en ingresos hasta ahora, y el Los ingresos acumulados aumentan a una razón de \$2000 por año.
- Estás conduciendo por la Ohio Turnpike en tu motocicleta de modo que el número total de kilómetros que has recorrido $t$ horas después de la medianoche está dado por $s(t) = 100t + 20.$ Entonces tu velocidad es 100 km por hora, y en el momento $t = 0$ (medianoche) ya habías recorrido 20 km.
Ahora prueba los ejercicios en la Sección 1.3 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado.
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Derechos de autor © 2018 Stefan Waner y Steven R. Costenoble