Tutorial: Funciones de varias variables desde los puntos de visto numérico, algebráico, y gráfico

Este tutorial: Parte A: Punto de vista algebraico y numérico.

(Se puede encontrar este tema en la Sección 15.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#

Nota Para comprender esta sección, debe estar familiarizado con la noción de funciones con valores reales de una sola variable (consulte el %%functionstut) y también con las funciones lineales con valores reales de una sola variable (consulte el %%linfnstut).

En este tutorial consideramos funciones de varias variables desde el punto de vista algebraico (es decir, representado por fórmulas algebraicas) y, en el caso de dos variables, el punto de vista numérico (representado por tablas de valores). En el %%partBtut veremos cómo representar funciones de dos variables gráficamente (para más de dos variables necesitaríamos más de tres dimensiones para sus gráficas).

#[Algebraic viewpoint][Punto de vista algebráicamente]#

#[Function of two variables][Función de dos variables]#

Una función de valor real $f$ de dos variables es una regla para fabricar un nuevo número, llamado $f(x,y)$ (y leyedo '$f$ de $(x,y).$') de un par de números $(x,y).$ Las variables $x$ y $y$ se llaman los argumentos de $f$.

#[Examples: (Specified algebraically)][Ejemplos: (Especificadas algebraicamente)]#

1. $f(x,y)$ \t ${}= 3x+y$ \t Entran $x$ y $y$, sale $3x+y.$ \\ $f(1,2)$ \t ${}= 3(1) + 2 = 5$ \t Reemplazar $x$ por $1$ y $y$ por $2.$ \\ $f(2,-6)$ \t ${}= 3(2) + (-6) = 0$ \t Reemplazar $x$ por $2$ y $y$ por $-6.$ \\ \\ 2. $f(x,y)$ \t ${}= x^2+y^2-25$ \t Entran $x$ y $y$, sale $x^2+y^2-25.$ \\ $f(4,-1)$ \t ${}= 4^2+(-1)^2-25 = -8$ \t Reemplazar $x$ por $4$ y $y$ por $-1.$ \\ $f(-3,4)$ \t ${}= (-3)^2+4^2-25 = 0$ $\quad$ \t Reemplazar $x$ por $-3$ y $y$ por $4.$ \\ \\

3. $f(x,y)$

\t ${}= \dfrac{1}{x^2+y^2-1}$ \t Entran $x$ y $y$, sale $\dfrac{1}{x^2+y^2-1}.$ \\

$f(-4,-1)$

\t ${}= \dfrac{1}{(-4)^2+(-1)^2-1} = \dfrac{1}{16} \quad$ \t Reemplazar $x$ por $-4$ y $y$ por $-1.$ \\

$f(0,2)$

\t ${}= \dfrac{1}{0^2+2^2-1} = \dfrac{1}{3}$ $\quad$ \t Reemplazar $x$ por $0$ y $y$ por $2.$

Algunos para ti

#[Function of three variables][Función de tres variables]#

Una función de valor real $f$ de tres variables es una regla para fabricar un nuevo número, llamado $f(x,y,z)$ de un triple de números $(x,y,z).$ Aquí, $x, y, z$ son los argumentosde $f.$

#[Examples: (Specified algebraically)][Ejemplos: (Especificadas algebraicamente)]#

4. $f(x,y,z)$ \t ${}= 3x+y-4z$ \t Entran $x,y$ y $z$, sale $3x+y-4z.$ \\ $f(1,-1,3)$ \t ${}= 3(1)+(-1)-4(3) = -10 \qquad$ \t Reemplazar $x$ por $1$, $y$ por $-1$, y $z$ por $3.$ \\ \\

5. $f(x,y,z)$

\t ${}= \dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+1}$ \t Entran $x, y$ y $z$, sale $\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+1}.$ \\

$f(2,-1,1)$

\t ${}= \dfrac{1}{2^2+(-1)^2+1^2+1} = \dfrac{1}{7}$ \t Reemplazar $x$ por $2$, $y$ por $-1$, y $z$ por $1.$ \\ \\ 6. $f(x,y,z)$ \t ${}= \sqrt{x^2+y^2+z^2-4}$ \t Entran $x, y$ y $z$, sale $\sqrt{x^2+y^2+z^2-4}.$ \\ $f(1,1,2)$ \t ${}= \sqrt{1^2+1^2+2^2-4} = 0$ \t Reemplazar $x$ por $1$, $y$ por $1$, y $z$ por $2.$ \\ $f(2,0,-2)$ \t ${}= \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2-4}$ \\ \t ${}= \sqrt{4} = 2$ \t Reemplazar $x$ por $2$, $y$ por $0$, y $z$ por $-2.$

Algunos para ti

#[Function of n variables][Función de n variables]#

¿Qué pasa con las funciones de cuatro o más variables? Si seguimos así, eventualmente nos quedaremos sin letras para usar como nombres de variables. Entonces, a menudo es conveniente usar variables con subíndice: por ejemplo, en lugar de escribir, digamos

$f(x,y,z) = \dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+1},$

#[we write instead][excribimos en su lugar]#

$f(x_1, x_2, x_3) = \dfrac{1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+1}.$

#[This way, we can use as many independent variables as we like.][De esta forma, podemos utilizar tantas variables independientes como queramos.]#

%%Example

$f(x_1, x_2, x_3, x_4)$ \t ${}= 2x_1-x_2x_3+x_4$ \t Entran $x_1, ..., x_4$, sale $2x_1-x_2x_3+x_4.$ \\ $f(1.-2,3,-4)$ \t ${}= 2(1)-(-2)(3)+(-4) = 4 \qquad$ \t Reemplazar $x_1$ por $1$, $x_2$ por $-2$, $x_3$ por $3$ y $x_4$ por $-4.$

Dominio de una función de varias variables

Todas las funciones anteriores se definieron en los valores dados de los argumentos. Sin embargo, en el ejemplo 3 anterior,

$f(x,y) = \dfrac{1}{x^2+y^2-1},$ \\ \\ $f(1,0) = \dfrac{1}{1^2+0^2-1}$ \t \gap[10] #[is not defined][no está definido]#

Entonces necesitamos excluir pares $(x,y)$ como este. Obtenemos un problema similar con esta función siempre que el demoninador sea cero; es decir, siempre que

$x^2+y^2-1 = 0,$ #[that is,][es decir,]# \\ $x^2+y^2 = 1.$ \t

Entonces decimos que el dominio (natural) de $f(x,y) = \dfrac{1}{x^2+y^2-1}$ es el conjunto de todos los pares $(x, y)$ tal que $x^2+y^2 \ne 1.$ (Este es el conjunto de todos los puntos en el plano distintos de los del círculo unitario $x^2+y^2=1$).

De manera similar, en el ejemplo 6 anterior, el dominio natural de $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2-4}$ es el conjunto de todos los triples $(x, y, z)$ tal que $x^2+y^2+z^2 \geq 4.$ (Veremos en el %%partBtut que este es el conjunto de todos los puntos fuera de la esfera con radio 2 centrado en el origen en el espacio 3-dimensional. )

#[To summarize:][Para resumir:]#

Dominio de una función de dos o más variables.

#[The natural domain of a function $f$ of two or more variables $(x,y,...)$ is the set of pairs $(x,y,...)$ for which the expression $f(x,y,...)$ makes sense.][El dominio natural de una función $f$ de dos o más variables $(x,y,...)$ es el conjunto de pares $(x,y,...)$ para los cuales la expresión $f(x,y,...)$ tiene sentido.]#

#[Examples][Ejemplos]# (2 variables)

1. \t $f(x,y) = \dfrac{1}{x-y}$ tiene sentido para todos los $(x,y)$ tal que $x-y \ne 0$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto de todos los puntos distintos de los de la línea $x-y = 0$ o $x = y $, que se muestra como la región sombreada en la siguiente figura:

2. $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2-1}$ tiene sentido para todos los $(x,y)$ tal que $x^2+y^2-1 \ge 0$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ con $x^2+y^2-1 \ge 0$, or $x^2+y^2\ge 1$, que se muestra como la región sombreada en la siguiente figura:

#[Real world situations][Situaciones del mundo real]#

En muchas aplicaciones, las variables $x, y, ...$ representan números de artículos y, por lo tanto, no pueden ser negativas. Además, si las variables representan la cantidad de artículos vendidos o fabricados, también habría algún tipo de límite superior en la cantidad total de artículos, o la cantidad de cada artículo.

#[Example][Ejemplo]#

El costo de preparar $x$ ramos y $y$ cajas de chocolates en un día es $C(x,y) = 4x+3y+ 100$ dólares, y puedes preparar hasta 10 ramos y hasta 20 cajas de chocolates en un día, entonces el dominio de $C$ es el conjunto de todos los pares $(x,y)$ con $0 \leq x \leq 10$ y $0 \leq y \leq 20$. (Por el contrario, el dominio natural de $C$ estaría formado por todos los pares posibles $(x,y)$.)

Algunos para ti

Punto de vista numérico

%%Q #[All we have seen so far are functions of several variables represented algebraically. What about the numerical point of view?][Todo lo que hemos visto hasta ahora son funciones de varias variables representadas algebraicamente. ¿Qué pasa con el punto de vista numérico?]#
%%A #[As in the case of numerically specified functions of one variable (see the %%functionstut), numerically specified functions of several variables woud be evaluated using tables. For functions of two variables, we can use a two-dimensional table:][Como en el caso de funciones de una variable especificadas numéricamente (ver el %%functionstut), las funciones de varias variables especificadas numéricamente serían evaluados mediante tablas. Para funciones de dos variables, podemos utilizar una tabla bidimensional:]#

%%Q Esa era una función de dos variables. ¿Cómo representaríamos numéricamente una función de tres o más variables?
%%A Vimos que una representación numérica de una función de dos variables requería una tabla bidimensional de valores, por lo que representar numéricamente una función de tres variables $f(x, y, z)$ requeriría una tabla tridimensional. O bien, se podría usar un folleto de tablas bidimensionales que muestren $f(x, y, z);$ con una página diferente para cada valor de $z.$ Por extensión, una función de cuatro variables $x, y, z, t$ requeriría un estante de folletos; un falolleto para cada vor de $t.$ Luego, para más variables, se necesitaría una estantería con estantes, luego tal vez una biblioteca de estanterías, y así sucesivamente...

#[Some special kinds of functions of several variables][Algunos tipos especiales de funciones de varias variables.]#

Si vuelves a consultar el %%linfnstut, recordarás que una función lineal de una sola variable $x$ tiene la forma

$f(x) = mx + b,$

donde $m$ y $b$ son constantes. Esta idea se generaliza a funciones de dos o más variables de algunas maneras interesantes como sigue.

Funciones lineales de varios variables

Una función lineal de dos variables tiene la forma

$f(x,y) = a + bx + cy. \quad \qquad$

\t $a, b, c$ #[(possibly zero) constants][constantes (posiblemente cero)]#

Usando variables con subíndice, podemos escribir en su lugar

$f(x_1,x_2) = a_0 + a_1x_1 + a_2x_2.$

\t $a_0, a_1, a_2$ #[constants][constantes]#

Extendemos esta idea a cualquier número de variables de la siguiente manera:

#[Linear function of 3 variables][Función lineal de 3 variables]#: \\ $f(x_1,x_2,x_3) = a_0 + a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3\qquad$ \t $a_0, a_1, a_2, a_3$ #[constants][constantes]# \\ ... \\ #[Linear function of n variables][Función lineal de n variables]#: \\ $f(x_1,x_2,...,x_n) = a_0 + a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n\qquad$ \t $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$ #[constants][constantes]#

%%Examples

1. $f(x,y) = 3x+y - 4$ \t #[Linear function of $x$ and $y$][Función lineal de $x$ y $y$]# \\ 2. $f(x,y,z,t) = -x+y-4t+10 \qquad$ \t #[Linear function of $x,y,z,t$ (with zero coefficient of $z$)][Función lineal de $x,y,z,t$ (con coeficiente cero de $z$)]# \\ 3. $f(x,y,z,t,w) = 4$ \t #[(Constant) linear function of five variables][Función lineal (constante) de cinco variables]# \\ 4. $f(x,y) = 4+2x\color{darkred}{+y^2}$ \t #[Not linear because of the second-order term $y^2.$][No lineal debido al término de segundo orden $y^2.$]# \\ 5. $f(x,y) = 4+2x+y\color{darkred}{-3xy}$ \t #[Not linear because of the second-order term $3xy.$][No lineal debido al término de segundo orden $3xy.$]#

#[Notes

Second-order terms involve products of unknowns with a total power of 2, like $x^2$ or $xy$. Similarly, third-order terms would involve products of unknowns with a total power of 3, like $x^3, x^2y$ or $xyz.$
Terms like $xy, xy^2,$ and $xyz$ are also referred to as interaction terms, as they involve more than one variable.

][Notas

Los términos de segundo orden implican productos de incógnitas con una potencia total de 2, como $x^2$ o $xy$. De manera similar, los términos de tercer orden involucrarían productos de incógnitas con una potencia total de 3, como $x^3, X^2y$ o $xyz.$

Términos como $xy, xy^2$ y $xyz$ también se conocen como términos de interacción, ya que involucran más de una variable.

Agregar tdérminos de interacción

En el modelado estadístico que utiliza funciones de varias variables, a menudo se agregan términos de interacción para obtener un modelo más preciso.

%%Examples

5. $f(x,y) = 4+2x+y-3xy$ \t #[Example 5 again: Linear plus interaction][Ejemplo 5 nuevamente: Lineal más interacción]# \\ 6. $f(x,y,z) = -x+2xy - xz + xyz \qquad$ \t #[Linear plus interaction:
Interactive terms can be products of more than two variables.][Lineal más interacción:
Los términos interactivos pueden ser productos de más de dos variables.]#

%%Note #[Interactive terms are nonlinear terms in a model, so linear model with added interaction terms is no longer linear.][Los términos interactivos son términos no lineales en un modelo, por lo que un modelo lineal con términos de interacción agregados ya no es lineal.]#

Funciones cuadráticas de varios variables

Una función cuadrática de dos variables es una función no lineal que tiene la forma

$f(x,y) = a + b_1x + b_2y + c_1x^2 + c_2y^2 + dxy \qquad$ \t $a, b_1, b_2, c_1, c_2, d$ #[constants][constantes]#

(#[Being nonlinear amounts to saying that at least one of the second-order terms $c_1x^2,\ c_2y^2,\ dxy$ is nonzero (otherwise we would get a linear function).][Ser no lineal equivale a decir que al menos uno de los términos de segundo orden $c_1x^2,\ c_2y^2,\ dxy$ es distinto de cero (de lo contrario, obtendríamos una función lineal).]#)

%%Examples

#[Examples 4 and 5 above are quadratic whereas Examples 1–3 above are linear (and thus not quadratic). Example 6 above is neither linear nor quadratic, as it contains a third-order term $xyz.$ That model is an example of a cubic model.][El ejemplos 4 y 5 anterior son cuadráticos, mientras que los ejemplos 1 a 3 anteriores son lineales (y, por lo tanto, no cuadráticos). El ejemplo 6 anterior no es lineal ni cuadrático, ya que contiene un término de tercer-orden $xyz.$ Ese modelo es un ejemplo de modelo cúbico.]#

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 15.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.