Tutorial: Funciones trigonométricas, modelos y regresión

Ir a Parte A: Modelar con la función seno

Este tutorial: Parte B: Las seis funciones trigonométricas

(Se puede encontrar este tema en la Sección 16.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

La función coseno

En la "definición de seno basada en la rueda de bicicleta" en %%prevtut, vimos que el seno $\sin(t)$ de $t$ se definió como la coordenada $y$ de un marcador en la rueda girada en sentido antihorario $t$ unidades. El coseno, $\cos(t)$, de $t$ se define casi de la misma manera, excepto que esta vez usamos la coordenada $x$ del marcador en la rueda en vez de la coordenada $y$:

La función coseno

El coseno de un número real $t$ está dado por la coordenada $x$ del punto $P$ en el siguiente diagrama, en el que $t$ es la longitud del arco que se muestra.

#[Fundamental relationship between sine and cosine][Relación fundamental entre seno y coseno]#

#[Recall that the $y$-coordinate of $P$ is $\sin(t)$, so the coordinates of the point $P$ in the diagram are $(\cos(t), \sin(t))$. As its distance from the origin is $1$, the distance formula gives us][Recuerda que la coordenada $y$ de $P$ es $\sin(t)$, por lo que las coordenadas del punto $P$ en el diagrama son $(\cos(t), \sin(t))$. Como su distancia al origen es $1$, la fórmula de la distancia nos da]#

#[Square of the distance from $P$ to $(0,0)$][Cuadrado de la distancia de $P$ a $(0,0)$]# \t ${}= 1$ \\ $\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2$ \t ${}= 1$

#[which we write as][que escribimos como]#

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \qquad$ \t #[Fundamental trigonometric identity][Identidad trigonométrica fundamental]#

Gráfica de la función coseno:

Como era de esperar, la gráfica de $y = \cos(t)$ tiene la misma forma cíclica que la de $y = \sin(t)$. La única diferencia entre los dos es un "cambio de fase" (ver la figura).

y = cos(t)

#[The graph of $y = \sin(t)$ is shown in a lighter shade.][La gráfica de $y = \sin(t)$ se muestra en un tono más claro.]#

#[Notes][Notas]#

Como vemos en la gráfica, la función coseno es nada más que una función seno desplazada: su gráfica se puede obtener a partir de la del seno desplazándola a la izquierda $\pi/2$ unidades:
$\displaystyle \cos(t) = \sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)$.
#[In other words, the cosine function is just a generalized sine function with the same amplitude ($A = 1$), angular velocity ($\omega = 1$) and period ($P = 2\pi$) as $\sin(t)$.][En otras palabras, la función coseno es solo una función seno generalizada con la misma amplitud ($A = 1$), velocidad angular ($\omega = 1$) y período ($P = 2\pi$) que $\sin(t)$.]#
Asimismo, la gráfica del seno se puede obtener desplazando la gráfica del coseno hacia la derecha $\pi/2$ unidades, por lo que
$\displaystyle \sin(t) = \cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$.
La gráfica de $\cos(t)$ es simétrica respecto al eje $y$, así reemplazar $t$ por $-t$ da el mismo valor para $\cos(t)$:
$\displaystyle \cos(-t) = \cos(t)$.
En comparación, vimos que la gráfica de $\sin(t)$ es antisimétrica respecto al eje $y$; reemplazar $t$ por $-t$ resulta en un cambio del el signo:
$\displaystyle \sin(-t) = -\sin(t)$.

#[Examples][Ejemplos]#

Cuando $t = 0$ o $2\pi$, el punto $P$ está sobre el eje $x$ con coordenada $x$ igual a $1$,de modo que

$\cos(0) = \cos(2\pi) = 1$ \gap[20] \t $2\pi$ #[constitutes a complete revolution, or 360°.][constituye una completa revolución, o 360°.]#

Cuando el punto $P$ se ha movido una distancia de $\dfrac{\pi}{2}$ en cualquier dirección y asíforma un ángulo de 90° con el eje $x$ positivo, su coordenada $x$ es 0, por lo que

$\displaystyle \cos\left(\pm\frac{\pi}{2}\right)= 0$ \gap[20] \t $\dfrac{\pi}{2}$ es la medida en radianes de 90°.

Algunos para ti

Modelar con coseno; funciones cosenos generalizadas

Como vimos en %%prevtut, podemos modelar cualquier comportamiento sinusoidal utilizando una función de seno generalizada, por lo que, estrictamente hablando, no hay necessitad usar una función de coseno generalizada en absoluto. Sin embargo, existen buenas razones matemáticas para incluir el coseno en nuestro compendio de funciones de modelado y, a menudo, también es más conveniente usar una función conseno para modelar una situación particular.

Función coseno generalizada

#[A generalized cosine function has the following form.][Una función coseno generalizada tiene la siguiente forma.]#

$f(x) = A\cos\left[\omega(x-\beta)\right] + C$ \\ #[Yes, we are calling the phase shift $\beta$ here as it corresponds to what we previously called $\beta$ in the graph of the generalized sine function.][Sí, estamos llamando al cambio de fase $\beta$ aquí ya que corresponde a lo que previamente llamamos $\beta$ en el gráfico de la función seno generalizada.]#

#[Thus,][Por lo tanto,]#

$A = {}$ #[amplitude][amplitud]#
$\omega = {}$ #[angular frequency][frecuencia angular]#
$\beta = {}$ #[phase shift (horizontal offset; the graph first reaches a maximum $\beta$ units to the right of the $y$-axis).][cambio de fase (desplazamiento horizontal; la gráfica primero alcanza un máximo $\beta$ unidades a la derecha del eje $y$).]#
$C = {}$ #[vertical offset (the graph is moved $C$ units up).][desplazamiento vertical (la gráfica se mueve $C$ unidades hacia arriba).]#

¡Aquí está la gráfica de esta función, que es idéntica a la gráfica de la función seno generalizada! (¿Puedes ahora ver por qué llamamos al cambio de fase para la función coseno generalizada $\beta$ en lugar de $\alpha$?)

#[Graph of ][Gráfica de ]# $\bold{f(x) = A\cos\left[\omega(x-\beta)\right] + C = A\sin\left[\omega(x-\alpha)\right] + C}$

$\displaystyle A = \frac{\text{valor alto} - \text{valor bajo}}{2} \qquad \omega = \frac{2\pi}{P} \qquad \beta = \alpha + \frac{P}{4}$
#[$C = {}$ height of baseline: Average of highest and lowest values][$C = {}$ altura de la línea base: promedio de los valores alto y bajo]#

Nota Aumentar o disminuir $\beta$ (o $\alpha$) por el período $P$ o múltiplos de $P$ no tiene efecto en la gráfica (y se permitirá en los ejercicios interactivos) ya que lo estaríamos moviendo horizontalmente esa distancia.

#[Example][Ejemplo]# En %%prevtut modelamos la temperatura media en Alemania con una función seno generalizada. Esta vez, usemos una función de coseno generalizada en su lugar.

$\displaystyle A = \frac{\text{valor alto} - \text{valor bajo}}{2} \approx \frac{20 - 0}{2} = 10$ \\ $P = 12$ \\ $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ \\ $\beta = {}$ #[Value of $t$ at first high point][Valor de $t$ en el primer punto alto]# ${}\approx 6$ \\ $C = {}$ #[Average of highest and lowest values][promedio de los valores alto y bajo]# $\displaystyle \approx \frac{20+0}{2} = 10$.

#[Thus, our approximate model is][Por lo tanto, nuestro modelo aproximado es]#

$f(t)$ \t $\displaystyle {} = A\cos\left[\omega(t-\beta)\right] + C$ \\ \t $\displaystyle {} =10\cos\left[\frac{\pi}{6}(t-6)\right] + 10$.

#[Compare the sine model, from %%prevtut:][Compara el modelo seno, de %%prevtut:]#

$\displaystyle f(t) = 10\sin\left[\frac{\pi}{6}(t-3)\right] + 10$.

Aquí hay una aplicación para modelar una situación de la vida real.

Las otras funciones trigonométricas

#[We can take ratios and reciprocals of sine and cosine to obtain four new functions. Here they are:][Podemos usar razones y recíprocas del seno y el coseno para obtener cuatro nuevas funciones. Aqui estan:]#

Tangente, cotangente, secante, cosecante

Cada uno de los siguientes es una razón o recíproco de funciones de seno o coseno, por lo que no se define en valores de $t$ cuando el denominador es cero. El resultado es que las gráficas de estas funciones tienen asíntotas verticales en esos valores singulares ("malos"), que se muestran en rojo en los gráficos a continuación.

$\displaystyle \frac{(t)}{(t)}$ #[The tangent of $t$ is defined by][La tangente de $t$ de define por]# \t

$\displaystyle \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$

\\ \t

#[Graph of][Gráfica de]# $y = \tan(t)$

\\ $\displaystyle \frac{(t)}{(t)}$ #[The cotangent of $t$ is defined by][la cotangente de $t$ de define por]# \t

$\displaystyle \cotan(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$

\\ \t

#[Graph of][Gráfica de]# $y = \cotan(t)$

\\ $\displaystyle \frac{1}{(t)}$ #[The secant of $t$ is defined by][la secante de $t$ de define por]# \t

$\displaystyle \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)}$

\\ \t

#[Graph of][Gráfica de]# $y = \sec(t)$

\\ $\displaystyle \frac{1}{(t)}$ #[The cosecant of $t$ is defined by][la cosecante de $t$ de define por]# \t

$\displaystyle \cosec(t) = \frac{1}{\sin(t)}$

\\ \t

#[Graph of][Gráfica de]# $y = \cosec(t)$

Ejemplos

1. $\displaystyle \tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$, whereas \\ 2. $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)}$ #[is not defined, as][no es definida, porque]# $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$. \t #[Notice that the graph of $\tan$ has a vertical asymptote at][Observe que la gráfica de $\tan$ tiene una asíntota vertical en]# $\dfrac{\pi}{2}.$ \\ 3. $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)}$ #[is not defined, as][no es definida, porque]# $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$ \\ 4. $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cotan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1,$ #[as][porque]# $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$. \\ 5. $\displaystyle \sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos(\pi/3)} = \frac{1}{1/2} = 2$. \\ 6. $\displaystyle \cosec(0) = \frac{1}{\sin(0)}$ #[is not defined, as][no es definida, porque]# $\sin(0)=0,$ #[whereas][aunque]# \\ 7. $\displaystyle \sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 16.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o avanza al siguiente tutorial por pulsar el vínculo "Tutorial siguiente" ubicado a la izquierda.