Tutorial: Funciones de varias variables desde los puntos de visto numérico, algebráico, y gráfico

Versión juego adaptivo

Ir a Parte A: Punto de vista algebraico y numérico.

Este tutorial: Parte B: Punto de vista gráfico

(Se puede encontrar este tema en la Sección 15.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado)

#[I don't like this new tutorial. Take me back to the older tutorial!][No me gusta este nueve tutorial. ¡Regresame al tutorial más viejo!]#

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Recursos

Graficador de superficies

Graficador Excel de superficies

En el %%partAtut consideramos funciones de varias variables desde el punto de vista algebraico y numérico. Aquí vemos cómo representar gráficamente funciones de dos variables. Como esto requiere trazar en un espacio tridimensional, primero necesitamos una idea de qué es y cómo asignar coordenadas a puntos en tres dimensiones.

#[Plotting in three dimensional space][Trazar en un espacio tridimensional]#

Gráficas de funciones de de varias variables.

Recuerda que, para una función $f(x)$ de una sola variable $x$, obtenemos su gráfica trazando todos los puntos de la forma $(x, f(x))$ (consulta el %%functionstut). En otras palabras, agregamos una nueva dimensión (la dirección $y$) y luego trazamos los puntos $(x, y)$ donde $x$ está en el dominio de $f$ y $y = f(x).$ Esta idea se generaliza a una función de cualquier número de variables:

Si $f(x_1,x_2,...,x_n)$ es una función de $n$ variables, entonces su gráfica se define como el conjunto de todos los puntos en $n+1$-espacio dimensional de la forma $(x_1,x_2,...,x_n, z)$ donde $(x_1,x_2,...,x_n)$ está en el dominio de $f$ y $z = f(x_1,x_2,...,x_n).$ Por lo tanto, para obtener gráficos que podamos visualizar en tres dimensiones, restringimos la atención a funciones de dos variables.

#[Graph of a function of two variables][Gráfica de una función de dos variables.]#

La gráfica de una función $f(x,y)$ de dos variables es el conjunto de todos los puntos de la forma $(x, y, z)$ donde $(x,y)$ está en el dominio de $f$ y $z = f(x,y)).$ Más simplemente, la gráfica es el conjunto de todos los puntos de la forma $(x,y,f(x,y))$ para $(x,y)$ en el dominio de $f.$

#[Example][Ejemplo]#

#[Here is the graph of][Aquí está la gráfica de]# $f(x,y) = x^2 + y^2$ (#[Equation][Ecuación]# $z = x^2 + y^2$)

#[Noteworthy features][Características destacables]#

#[Horizontal cross-sections][Secciones transversales horizontales]#: #[You get a horizontal cross-section by setting $z ={}$ constant in its equation ($z$ measures the height in the graph as drawn). For instance, $z = 1$ gives $1 = x^2+y^2$, which is the equation of the circle of radius 1 center $(0,0)$. Similarly, $z = 4$ gives a circle of radius 2.][Obtienes una sección transversal horizontal estableciendo $z ={}$ constante en su ecuación ($z$ mide la altura en la gráfica dibujada). Por ejemplo, $z = 1$ da $1 = x^2+y^2$, que es la ecuación del círculo de radio 1 galope $(0,0)$. De manera similar, $z = 4$ da un círculo de radio 2.]#
#[Here is the same graph again, showing the slices at $z = 1, 2, 3, 4$, and 5$, which are circle of radius $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4} = 2$, and $\sqrt{5}.$][Aquí está nuevamente el mismo gráfico, que muestra los cortes en $z = 1, 2, 3, 4$ y 5$, que son círculos de radio $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4 } = 2$ y $\sqrt{5}.$]#
#[Vertical cross-sections][Secciones transversales verticales]#: #[Its vertical slices through the $z$-axis are all the same shape becuase of the circular symmetry. For instance, the slice through the $yz$-plane is the parabola $z = y^2$ (put $x = 0$ to see why), explaining why why the surface looks like a parabola when seen end-on. Slices through planes parallel to that, through $x = \pm 1, \pm 2, ... $ are of the form $z = y^2 + {}$ constant, and so are also parabolas, as we see in the following ficure.][Sus cortes verticales a través del eje $z$ tienen la misma forma debido a la simetría circular. Por ejemplo, el corte a través del plano $xyz$ es la parábola $z = y^2$ (pongamos $x = 0$ para ver por qué), que explica por la cual la superficie parece una parábola cuando se ve de frente. Los cortes a través de planos paralelos a ese, a través de $x = \pm 1, \pm 2, ... $ tienen la forma $z = y^2 + {}$ constante, por lo que también son parábolas, como vemos en la siguiente figura.]#

#[Practice: Reading a graph][Práctica: lectura de gráficas.l]#

Ahora prueba los ejercicios en la Sección 15.1 en el libro Matemáticas finitas y cálculo aplicado. o verifica si se han agregado nuevos tutoriales para este capítulo.